Vragen over de schrödingervergelijking

[Professor Puntje]

Wellicht beschouwt men het feit dat het tot nog toe goed gaat als "bewijs" dat het dus ook OK is, maar dat sluit niet uit dat er minieme (maar theoretisch interessante) subatomaire afwijkingen van de Wet van Coulomb kunnen bestaan....

[jkien]

Op subatomair niveau heb je natuurlijk het experiment van Rutherford, waarbij metaalfolie gebombardeerd wordt met alfadeeltjes. Primair ging dat om de vraag of de kern groter is dan een puntdeeltje, maar tegelijk is de verstrooiing in verschillende richtingen een test van de Wet van Coulomb op subatomaire schaal. Zie de hyperphysics website
 

geigmars.gif (8.17 KiB) 1341 keer bekeken

[Professor Puntje]

Primair ging dat om de vraag of de kern groter is dan een puntdeeltje, maar tegelijk is de verstrooiing in verschillende richtingen een test van de Wet van Coulomb op subatomaire schaal.

 
Dat is de vraag. Ik lees daar:
 

When the scattering departed from that predicted from Coulomb's law, it could be inferred that another force was coming into play and you could claim to have "hit" the nucleus. At 140 degrees, they still hadn't hit it.

 
De Wet van Coulomb wordt dus als vaststaand gegeven beschouwd, en gevonden afwijkingen worden aan eigenschappen van de atoomkern toegeschreven. Zou de Wet van Coulomb op (sub)atomaire schaal kleine afwijkingen vertonen dan zou je die zo niet vinden, maar je zou wel kleine fouten maken in je bepaling van de eigenschappen van de atoomkern.
 
Het probleem is hoe je de Wet van Coulomb zelf op (sub)atomaire schaal kunt testen. Mogelijk gaat dat wel met een variatie op je aangehaalde experimenten? Het lijkt me ook sterk dat zoiets nooit eerder gedaan zou zijn...

[jkien]

De Wet van Coulomb wordt dus als vaststaand gegeven beschouwd

 
Nee, als een hypothese die getest kan worden. Misschien moet je nog iets beter naar de grafiek in bericht #17 kijken.

[Professor Puntje]

Hoe ik het begrijp is aldus:
 
Men gaat uit van de Wet van Coulomb (waarbij de atoomkern als puntdeeltje beschouwd wordt) en dat geeft een formule voor de verstrooiing van de alfadeeltjes. De meetresultaten stemmen daar heel goed mee overeen, maar sommige alfadeeltjes vertonen afwijkend gedrag. Dat afwijkende gedrag wordt dan toegeschreven aan het feit dat de kern geen puntdeeltje is.
 
Heb ik het mis?

[Professor Puntje]

Gevonden:
 
http://arxiv.org/abs/1111.2303
 
Op zéér kleine afstanden gaat de Wet van Coulomb niet meer op vanwege de vacuüm polarisatie. Die tekst gaat me boven de pet, maar het is mij ook genoeg te weten dat het inderdaad op zeer kleine afstanden spaak loopt en wat er dan aan de orde is.

[sensor]

Goed punt. Als nog specifieker voorbeeld neem ik dan een helium atoom, zonder spin interacties: twee elektronen op posities

\(\vec{r}_1\)

en

\(\vec{r}_2\)

en een +2 geladen kern op positie

\(\vec{r} = 0\)

.
 

\(\hat{H} = \Bigl( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2_1 - \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_1} \Bigr) + \Bigl( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2_2 - \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_2} \Bigr) + \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}\)

 
Jouw vraag is nu dus: in hoeverre weten we dat dit inderdaad de vorm is die de potentiaal

\(V(\vec{r}_1, \vec{r}_2)\)

aanneemt? Ik ben niet bekend met specifiek onderzoek die dit aantoont.
 
Natuurlijk is dit voor bijvoorbeeld waterstof eenvoudig te berekenen, en komen de energieniveau's overeen met de gemeten spectraallijnen voor waterstof. Kleine afwijkingen worden toegeschreven aan bijvoorbeeld spineffecten, welke je in theorie ook mee kan (moet) meenemen in je berekeningen.

 
Voor het helium atoom en voor meer ingewikkelde atomen is de energie in de grondtoestand eenvoudig te berekenen met behulp van de variational principe. Hiervoor geeft men een schatting voor de golffunctie zoals bijvoorbeeld in eenvoudige gevallen met een gaussische enveloppe. Na normering volgt de amplitude en hiermee Ekin en ook V. Volgens het genoemde principe moet de energie van de grondtoestand groter zijn dan het minimum van de verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan. In Griffiths introduction to Quantum Mechanics staat de hele procedure beschreven en hier een korte samenvatting https://en.wikipedia.org/wiki/Variational_method_(quantum_mechanics).
 
Op het moment dat de gemeten energie weinig afwijkt van de berekende waarde (bij Helium is dat zelfs minder dan 2% ) kan je stellen dat de Hamiltoniaan van Helium dus moet kloppen omdat deze H gebruikt wordt in de berekening.

[Professor Puntje]

Dank allemaal! Dat gaat zo met sneltreinvaart.
 
Volgende vraag:
 
Wat is de richting ten opzichte waarvan het impulsmoment in bepaalde omstandigheden gekwantiseerd is? Mogen we die richting zelf kiezen? Dat laatste zou wel raar zijn, want wat heeft een deeltje nu te maken met de richting die wij voor onze beschouwingen uitkiezen?

[Professor Puntje]

Hier staat wat meer informatie:

 
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_model_of_the_atom

 

Kennelijk wordt de richting van de "z-as" bepaald door de richting waarin men het impulsmoment wil meten. Betekent dat dat de richting van het totale impulsmoment van een deeltje (zonder dat eraan gemeten wordt) in sommige omstandigheden betekenisloos is?

[sensor]

Totaal impuls moment bestaat uit baanimpulsmoment en spinimpulsmoment, maar laten we het spin-impulsmoment nog even niet meenemen.
 
We leggen een voorkeursrichting vast door experimenteel een richting te kiezen met behulp van een magnetisch of elektrisch veld. De voorkeursrichting noemen we de z-as en dan meet je de component van het baanimpulsmoment langs deze as.
Verder neemt het baanimpuls moment L gekwantiseerde waarden aan. 
 
Ik denk dus dat je gelijk hebt als je stelt dat de richting van het impulsmoment in sommige omstandigheden betekenisloos is. 

[Professor Puntje]

Geldt behoud van impulsmoment binnen de QM ook voor de onmeetbare componenten van het impulsmoment, en zo ja hoe weten we dat dan?

[efdee]

Ik ben zo vrij een aansluitende vraag te stellen. Ook ik 'herbeleef' de QM.
Beschouw een H-atoom. De wet van Coulomb is bolsymmetrisch. De grote snelheid van het elektron in een extreem kleine ruimte wekt de indruk, dat het elektron overal tegelijk zou zijn. Dat is ook bolsymmetrisch te zien.
(De stap van twee- naar driedimensionaal is voor mij nog niet evident.)
Bij het oplossen van de Schrödingervergelijking voor het H-atoom wordt de PSI  eerst geschreven in bolcoördinaten en daar treedt er een spitsing op in twee onafhankelijke factoren.
De ene factor is r-afhankelijk en de tweede is afhankelijk van de twee (bol-)hoekcoördinaten.
Waar komt nu ineens die verbreking van de bolsymmetrie vandaan?
In de oplossing komen o.a. de p-, d- en f-orbitalen tevoorschijn die duidelijk een voorkeursrichting vertonen.
Hoe moet ik dat zien?

[Math-E-Mad-X]

De grote snelheid van het elektron in een extreem kleine ruimte wekt de indruk, dat het elektron overal tegelijk zou zijn. Dat is ook bolsymmetrisch te zien.
(De stap van twee- naar driedimensionaal is voor mij nog niet evident.)

 
In de QM gaat het erom dat het elektron daadwerkelijk overal tegelijk is. Het idee dat het een puntdeeltje is dat heel erg snel beweegt en daarom overal tegelijk lijkt te zijn klopt dus niet
 
Althans, niet volgens de standaard interpretatie van de QM, of enige serieuze alternatieve interpretatie waar ik ooit van heb gehoord. Het staat je natuurlijk vrij om je eigen interpretatie te verzinnen, maar dat leidt alleen maar tot verwarring bij andere forumgebruikers en ook bij jezelf wanneer je de tekstboeken leest. Bovendien is jouw interpretatie inderdaad lastig vol te houden in het drie-dimensionale geval.

Bij het oplossen van de Schrödingervergelijking voor het H-atoom wordt de PSI  eerst geschreven in bolcoördinaten en daar treedt er een spitsing op in twee onafhankelijke factoren.
De ene factor is r-afhankelijk en de tweede is afhankelijk van de twee (bol-)hoekcoördinaten.
Waar komt nu ineens die verbreking van de bolsymmetrie vandaan?
In de oplossing komen o.a. de p-, d- en f-orbitalen tevoorschijn die duidelijk een voorkeursrichting vertonen.
Hoe moet ik dat zien?

 
Heb je toevallig een link naar een pagina waar die oplossingen staan? Ik kan me niet meer herinneren hoe dat precies zat, maar als ik de formules zie dan weet ik het misschien weer.

[efdee]

Een beschrijving vh H-atoom en HΨ=EΨ vind je hier.

[efdee]

 
In de QM gaat het erom dat het elektron daadwerkelijk overal tegelijk is. Het idee dat het een puntdeeltje is dat heel erg snel beweegt en daarom overal tegelijk lijkt te zijn klopt dus niet. Althans, niet volgens de standaard interpretatie van de QM, of enige serieuze alternatieve interpretatie waar ik ooit van heb gehoord. Het staat je natuurlijk vrij om je eigen interpretatie te verzinnen, maar dat leidt alleen maar tot verwarring bij andere forumgebruikers en ....

Als je hier kijkt, zie je hoeveel interpretaties er al minstens bestaan.

De meest geaccepteerde is niet per definitie de beste of de meest waarschijnlijke.
Ik denk niet, dat ik verwarring zou zaaien maar de QM zelf en dat is een zwakke kwaliteit.