QFT: quantisatie scalair veld

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.327

QFT: quantisatie scalair veld

Voor scalaire velden wordt er in de QFT vertrokken van de Klein-Gordon vergelijking. De oplossing is een veld \(\phi(x) \). Van dat veld wordt er dan een Fourier transformatie genomen. Het veld wordt dan "gepromoot" tot een operator door \(\phi(k)\) en \(\phi^*(k)\) te vervangen door de annihilatie en creatie operatoren.

In de praktijk als je een veld hebt is die \(\phi(k)\) een wiskundige functie veronderstel ik bvb 1/k. Deze functie kan continu zijn in k. Heb je dan voor elke waarde van k dan een aparte annihilatie of creatie operatoren. Kunnen er dan oneindig veel deeltjes ontstaan, of hoe moet ik dat zien?

Op zich snap ik wel het concept van de ladder operatoren voor oscillatoren in de gewone QM.

Een vraag die ik mij stel op basis van bvb deze passage in QFT demystified, maar ook op basis van andere boeken blijf ik met dezelfde vraag zitten.
qft.png

Berichten: 1.088

Re: QFT: quantisatie scalair veld

Ik snap je vraag niet helemaal, geloof ik. De operator \(a^{\dagger}(p)\) creëert een deeltje met 3-impuls p en energie \(E_p = \sqrt{|p|^2 + m^2}\). Je kunt ook kijken hoe het scalaire veld inwerkt op het vacuüm:
\( \phi(\overline{x}) |0> = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_p} e^{-i \overline{p}\cdot\overline{x}} |p> \)
als je de normalisatie
\( \sqrt{2E_p} a^{\dagger}(p) |o> \)
gebruikt. De toestand \(\phi(\overline{x}) |0>\) is een "wavepacket", een superpositie van toestanden met impuls p, waarbij je dus integreert over alle impulswaarden (zoals in een Fourier-transformatie). Je kunt vervolgens ook nog de uitdrukking
\( <0|\phi(\overline{x}) |p> = e^{i \overline{x}\cdot\overline{p}} \)
bekijken; als het goed is doet dit je denken aan het niet-relativistische resultaat
\( <\overline{x}|\overline{p}> \sim e^{i \overline{x}\cdot\overline{p}} \)
Om toch antwoord te geven op je vraag "Heb je dan voor elke waarde van k dan een aparte annihilatie of creatie operatoren. Kunnen er dan oneindig veel deeltjes ontstaan, of hoe moet ik dat zien?"

De operator \(a^{\dagger}(p)\) creëert een deeltje met 3-impuls p, en in de positierepresentatie integreer je over alle p-waarden. Je hebt dus niet oneindig veel deeltjes; de integraal drukt uit dat je over alle impulswaarden integreert bij de golffunctie van 1 deeltje.

Helpt dit?

Gebruikersavatar
Berichten: 1.327

Re: QFT: quantisatie scalair veld

Ik kan best begrijpen dat mijn vraag onduidelijk is om dat er wel wat fundamentele dingen zullen zijn die ik niet goed door heb.

Misschien is een eerste ding dat ik niet goed begrijp het volgende. Ik laat nu een gelijkaardige passage uit Zee zien.
zee.png
Ik weet op basis van de gewone QM dat \(a^{\dagger}\) grofweg gelijk is aan \(\omega q -ip\). Dat schrijft Zee ook het blad ervoor. Als je dat dan toepast op een eigenfunctie van een harmonische oscillator dan krijg je de eigenfunctie met een energieniveau dat net een level hoger is. Dat snap ik wel.

Maar waar halen ze het idee vandaan om die a(k)'s (vergelijking 11 uit de figuur), wat voor mij gewoon Fourier getransformeerden zijn, te associëren met zo een creatie operator binnen het kader van QFT. Dat komt voor mij uit de lucht gevallen.

Berichten: 1.088

Re: QFT: quantisatie scalair veld

Ja, dat snap ik. Ik zou ook naar de historische motivatie moeten kijken, maar ik vermoed dat het concept (2nd quantization) door Dirac en Jordan eind jaren 20 werd toegepast op elektromagnetische velden om zo de absorptie en emissie van fotonen te kunnen beschrijven.

Veel qft boeken laten alleen zien dat het werkt.

Berichten: 1.088

Re: QFT: quantisatie scalair veld

Ik vond o.a. dit:

https://www.physicsoverflow.org/31751/w ... antization

https://www.physicsforums.com/threads/w ... lds.42288/

Zoals ik je vraag begrijp, is deze eigenlijk: hoe kwam men erop om die tweede quantisatieprocedure op te zetten? Of: waarom wordt het veld zelf nu een operator, in plaats van de positie van een deeltje zoals in de "oorspronkelijke" kwantummechanica?

Klopt dat?

Gebruikersavatar
Berichten: 1.327

Re: QFT: quantisatie scalair veld

Ik ga het grondig bekijken en zal dan antwoorden. Het lezen van die antwoorden vergt meestal nog wat bijkomend opzoekwerk, dus dat kan even duren.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.327

Re: QFT: quantisatie scalair veld

Er wordt vaak verwezen naar Steven Weinberg in bovenstaande links. Ik ben eens gaan kijken in zijn historisch overzicht (ik ben intellectueel niet in staat om heel dat boek zomaar te lezen) waar hij het heeft over het werk van Born, Heisenberg en Jordan. Ze vertrekken van een stuk snaar met lengte L.
weinberg1.png
weinberg2.png
De golf is een Fourier reeks. Ze schrijven de Hamiltoniaan op. Op basis van de Hamiltoniaan schrijven ze de bewegingsvergelijking op, de vergelijking (1.2.9). Daarin komt dan die creatie en anihilatie operator voor. Die voldoen dan aan een commutatierelatie, wat zorgt voor quantisatie. Allemaal goed.

Mijn probleem is vooral om te begrijpen wat er gebeurt als er geen Fourier REEKS is zoals in (1.2.9) van Weinberg, maar een INTEGRAAL (Fourier transformatie) zoals in vergelijking (11) van Zee. Die creatie operator \(a^{\dagger}\) kan dan niet meer zorgen voor een overgang van k naar k+1 want elke waarde van k is mogelijk. Fysisch creëert die deeltjes, maar wat doet die \(a^{\dagger}\) wiskundig precies? Wat zit er wiskundig achter die \(a^{\dagger}\)? Hoe moet je dat ding precies voorstellen wiskundig?

In het discrete geval kunnen ze geschreven worden zoals hieronder, maar ik snap de uitbreiding naar het continue geval dus niet.
weinberg3.png
weinberg3.png (11.26 KiB) 1376 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 1.327

Re: QFT: quantisatie scalair veld

Schwarz schrijft over mijn probleem
qft_Schwarz.png
Dat het een definitie is maakt het wel duidelijker. Dat had Zee ook wel mogen schrijven. Hij doet precies of dat volgt uit een logische afleiding.

Berichten: 1.088

Re: QFT: quantisatie scalair veld

Ik zou het een logische "Ansatz" willen noemen 😉

Gebruikersavatar
Berichten: 1.327

Re: QFT: quantisatie scalair veld

Dat is inderdaad het goede woord. Het is wel belangrijk voor beginners in het domein zoals ik dat zoiets heel duidelijk wordt aangegeven. Anders blijf je achter met het gevoel dat je iets in de afleiding niet hebt gesnapt.

Reageer