Snelheid en relativiteit

[Professor Puntje]

Even resetten.
 
Wat is volgens jou de afstand die ruimteschip A bezien vanuit ruimteschip B vanaf poortje A tot aan de botsing moet afleggen?

[ukster]

2,25 miljoen km

[Professor Puntje]

OK - die afstand is dus volgens jou hetzelfde als de afstand die de waarnemer op aarde tussen de twee poortjes A en B meet. Maar ik zie de speciaal relativistische logica daar niet van. We hebben hier twee relevante gebeurtenissen: Ga en Gc.
 
Laat T_a en T_c de respectieve tijden zijn waarop de gebeurtenissen Ga en Gc volgens de waarnemer in ruimtevaartuig B plaatsvinden.
 
Laat verder u de snelheid van ruimtevaartuig A bezien vanuit ruimtevaartuig B zijn.
 
En laat tenslotte S de afstand tussen de gebeurtenissen Ga en Gc zijn bezien door een waarnemer in ruimtevaartuig B.
 
Dan geldt in elk geval:
 
S = u . (T_c - T_a)

[Professor Puntje]

Laten we eens opnieuw beginnen. Onderstaand heb ik een situatieschets gemaakt:
 

probleemstelling.jpg (53.46 KiB) 3306 keer bekeken

 
Mee eens?

[ukster]

Ja, dat is helder!

[Professor Puntje]

Goed - laten we nu stap voor stap berekenen wat je wil weten. Wat doen we als eerste?

[ukster]

snelheid ruimteschip 1 gezien vanuit waarnemer 2
ik had gedacht 0.90909c met de snelheiddilatatieformule

[ukster]

ik besef dat het voorgaande verder geen enkele betekenis heeft als niet ook lengtekrimp en tijddilatatie- wordt meegenomen

ruimtetijddilatatie.jpg (331.41 KiB) 3307 keer bekeken

het water volgt een pad tussen twee gegeven ruimtetijdposities zodat de tijddilatatie het kleinst is

[Professor Puntje]

Daarom ben ik in dit geval ook niet zo'n voorstander van het gebruik van de sommatieformule voor snelheden. Ook al vind je zo (bij juist invullen) het goede antwoord, het begrip is er niet of nauwelijks mee gediend. Beter is het om eerst de relevante afstanden en tijdsduren te berekenen, en van daaruit de (relatieve) snelheden. Dat moet in dit geval goed te doen zijn want de ruimtevaartuigen bewegen tot aan de botsing met constante snelheid.

[ukster]

ja, dat denk ik ook. het probleem is natuurlijk dat er vanuit waarnemers vanuit verschillende referentiestelsels wordt waargenomen. De speciale relativiteitstheorie zou in dit geval ook gelden omdat de snelheden eenparig zijn voor waarnemers in verschillende inertiaalstelsels,heb ik gelezen..

[Professor Puntje]

ja, dat denk ik ook. het probleem is natuurlijk dat er vanuit waarnemers vanuit verschillende referentiestelsels wordt waargenomen

 
Inderdaad - en daarom is het met de sommatieformule héél goed opletten geblazen door welke waarnemers die verschillende snelheden gemeten worden. Een foutje is dan zo gemaakt. 
 
Met een stap voor stap berekening op basis van lorentzcontractie en tijddilatatie kun je de zaak ook doorrekenen. Dat is overzichtelijker, en geeft ook meer inzicht.
 
Ik zou beginnen met de berekening van het tijdstip van botsing volgens waarnemer W0.

[ukster]

tijdstip botsing volgens waarnemer wo.      t =2.25.10⁹/(1/2c+3/4c) = 6 sec
ik lees zojuist (Wikipedia) iets over Lorentzcontractie (Lengtekrimp)

Lorentzcontractie.jpg (5.9 KiB) 3307 keer bekeken

en tijddilatatie

tijddilatatie.jpg (6.71 KiB) 3307 keer bekeken

Nu nog toepassen op de gegeven situatie, zodat van hieruit relatieve snelheden bepaald kunnen worden.
(ik zou eerlijk gezegd niet weten hoe hieraan te beginnen!)

[ukster]

wat is bijvoorbeeld de snelheid v in de lorentzfactor ϒ
en l , lo , Δt  en Δt'  ?
Dit zal natuurlijk afhangen van de waarnemer (W0,W1,W2),welke de waarneming doet.
Nu ziet ik ook (op basis van jouw situatieschets) dat een stap voor stap berekening noodzakelijk is en beter overzicht en meer inzicht geeft! 

[Professor Puntje]

Geen paniek! Rustig stap voor stap doorrekenen...
 
We nemen (zoals in je openingspost) aan dat de gebeurtenissen G1 en G2 voor waarnemer W0 gelijktijdig plaatsvinden, en laten nu W0 dat als nulpunt voor zijn tijdmeting kiezen. Dan geldt voor de x-positie van de ruimteschepen 1 en 2 als bezien door W0 dat:
 

\( x_1(t) = x_A + v_1 \cdot t \)

 

\( x_2(t) = x_B - v_2 \cdot t \)

 
En de botsing (gebeurtenis G3) treedt dan op voor x₁(t) = x₂(t). Dus voor het tijdstip van botsing t₃ als bezien door W0 geldt:
 

\( x_A + v_1 \cdot t_3 = x_B - v_2 \cdot t_3 \)

 

\( v_1 \cdot t_3 + v_2 \cdot t_3 = x_B - x_A \)

 

\( (v_1 + v_2) \cdot t_3 = x_B - x_A \)

 

\( t_3 = \frac{x_B - x_A}{v_1 + v_2} \)

 
Invullen levert de tijdsduur die W0 tussen G1 en G3 en tussen G2 en G3 meet. Met de formule voor tijddilatatie vind je dan de tijdsduur die waarnemer W1 tussen G1 en G3 meet en de tijdsduur die waarnemer W2 tussen G2 en G3 meet.

[ukster]

Invullen levert de tijdsduur die W0 tussen G1 en G3 en tussen G2 en G3 meet. Met de formule voor tijddilatatie vind je dan de tijdsduur die waarnemer W1 tussen G1 en G3 meet en de tijdsduur die waarnemer W2 tussen G2 en G3 meet.

Klopt het dan dat de tijdsduur die waarnemer W1 tussen gebeurtenis G1 en G3 meet 6,93 sec is, en dat van waarnemer W2 tussen gebeurtenis G2 en G3  9,07sec (uitgaande van de 6 sec die waarnemer W0 meet tussen gebeurtenis G1 en G3 en gebeurtenis G2 en G3).
Dan zou de ruimtetijdafstand tussen gebeurtenis G1 en G2 4,363 miljoen km bedragen i.p.v. 2,25 miljoen km gezien vanuit waarnemer W0.