Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 125

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

tempelier schreef:
ma 09 sep 2019, 08:46
Ik kreeg het niet geïnstalleerd onder Ubuntu.
Zie dit nieuwe draadje. Misschien dat we eruit komen.

viewtopic.php?f=9&t=209059

Groeten,

VIncent

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 125

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Hallo,

Jupyter notebook is geupdate. Sectie toegevoegd waar de error in de wave divisor functie word berekend.

Interactief met vrij instelbare pulsewidth voor getallen tot: 10000. Groter ook mogelijk maar dat moeten jullie self maar instellen.

https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... 02.4.ipynb

Grote vraag die ik al een tijd heb:

- Kan de mean divisor count bepaald worden uit de error (rekenkundig)?

Als alternatieve methode dan die van Dirichlet. Er zijn ontelbaar pulsewidth en error's voorhanden!

Mijn vakantie is bijna voorbij. Dan volgen ook wat minder posts.

Gr,

Vincent

Gebruikersavatar
Berichten: 125

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Hallo,

Weer een stapje verder. Met hulp van de wave divisor functie heb ik de error in: Dirichlet's Divisor Problem kunnen berekenen.

\(\mathcal{O}(x^{\Theta})\)

Merk op dat de wave divisor functie is zonder 1 als deler. De Dirichlet vergelijking ziet daarom een beetje vreemd uit. Theta varieert afhankelijk van de range waarin je kijkt.
Theta.jpg
Meer informate in Jupyter notebook:
https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... 02.4.ipynb

Notebook is interactief klik: [Cell] \(\rightarrow\) [Run All].

I hoopte op wat input. De wiskunde nadert nu een niveau waarbij ik moeilijk verder kom. :?

Groeten,

Vincent Preemen

Gebruikersavatar
Berichten: 125

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Beste,

De afgelopen dagen veel berekeningen laten lopen. Bijna tot het punt alles in prullenbak te gooien.

Ik denk dat ik de error in de "Divisor Summatory Function" numeriek heb kunnen achterhalen.

\(\Theta(x \rightarrow 0) \approx 0.5\)
\(\Theta_{min}(x \approx 11) \approx 0.26\)
Divicor Summatory Theta.jpg
Voor berekeningen zie Jupyter notebook:
https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... 02.4.ipynb

Mijn vakantie zit er bijna op. Ik hoopte of iemand de resulaten kan verifieren.

Groeten,

Vincent

Gebruikersavatar
Berichten: 4.297

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Als ik het goed begrijp gaat het je dus om dit probleem:

https://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_s ... or_problem

Daar is al heel veel aan gerekend, maar wat denk je daar precies over bewezen te hebben? Als je dat hier kort kunt vermelden zijn er wellicht mensen die je daar meer over kunnen vertellen. Bijvoorbeeld of dat al bekend is, of dat het iets nieuws zou zijn als je bewijs klopt.

Gebruikersavatar
Berichten: 125

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Hallo Prof,

De link was mij al bekend. Zie ook referenties wat ik plaats in mijn documenten.

Ik claim niets bewezen te hebben.

De error in de wave divisor functie is proportioneel met de mean divisor growth. De error groeit als een dronkenmansloop / Brownse beweging.

Voor onderstaande grafiek is in ieder punt de mean divisor groei \(\Theta^{*}\) afgebeeld van1000 golffuncties (met verschillende pulse breedtes). \(\Theta^{*}\) mean divisor functie kan omgerekend worden naar \(\Theta\) divisor summatory functie.

Groeten,

Vincent
OOOVincentOOO schreef:
za 14 sep 2019, 19:44
Beste,

De afgelopen dagen veel berekeningen laten lopen. Bijna tot het punt alles in prullenbak te gooien.

Ik denk dat ik de error in de "Divisor Summatory Function" numeriek heb kunnen achterhalen.

\(\Theta(x \rightarrow 0) \approx 0.5\)
\(\Theta_{min}(x \approx 11) \approx 0.26\)
Divicor Summatory Theta.jpg
Voor berekeningen zie Jupyter notebook:
https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... 02.4.ipynb

Mijn vakantie zit er bijna op. Ik hoopte of iemand de resulaten kan verifieren.

Groeten,

Vincent

Gebruikersavatar
Berichten: 125

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Na nog een check is gebleken dat resultaten niet kloppen.

Je blijft altijd haken en ogen vinden hoe meer je checked!

Ik snap er momenteel nog minder van! Was gewoon toeval dat resultaten klopten denk ik.

Heb een time out nodig! :roll:

Gebruikersavatar
Berichten: 4.297

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Ik heb zelf vroeger ook heel veel tijd "verdaan" met pogingen iets nieuws te bedenken. Positieve kant van de zaak is wel dat je zo héél veel dingen leert, waar je je anders waarschijnlijk nooit in verdiept zou hebben. ;)


Gebruikersavatar
Berichten: 125

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Inderdaad,

Veel aan het leren en fouten aan het maken. Maar we gaan ermee door! :)

Gr,

Vince

Gebruikersavatar
Berichten: 125

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Hallo,

En weer doorgaan. Om \( \Theta\) the bepalen van divisor summatory functie is meer denktijd nodig. Echter er zijn heel veel oplossingen voor de wave divisor functie.

In de tussentijd heb ik om meer inzicht te krijgen de arcsine distributie (binnen de wave divisor functie) bestudeerd.

- Er zijn twee scenarios gesimuleerd. Met en zonder resonantie.

Als Screentshot:
Wave Divisor Function Arcsine.jpg
Jupyter notebook (Arcsine):
https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... sine.ipynb

Alle input en advies is welkom.

Notebook zou moeten openen in de cloud (IE werkt niet andere browser wel zover ik weet). Eerste laadtijd kan even duren. Notebooks zijn interactief Menu: [Cell]+>[Run All].

Met groeten,

Vincent

Note:
Orginele notebook is ook geupdate. Wat typo verbeterd en de error beschrijning wat uitgebreider beschreven.
https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... 02.4.ipynb

Gebruikersavatar
Berichten: 125

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Wat creativer bezig geweest. Met behulp van Python the: "Wave Divisor Functie" omgezet in audio.

Komisch dat er een soort van beat ontstaat in laag register. Waarschijnlijk een menselijk effect.

Fimpje op:



Priem getallen zijn bij de wave divisor functie zijn gelijk aan 1. Ja ik weet het dat eigenlijk…. bla bla

Hopelijk zijn er geen problemen ermee dat ik weer eens wat post. Alle input en advies is welkom.

Voor geinsteresseerden kan ik de code doorsturen.

Gr,

Vince

Gebruikersavatar
Berichten: 4.297

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Leuk! Dat lijkt mij ook de meest vruchtbare aanpak. Naar priemgetallen is al zo ontzettend veel onderzoek gedaan dat het heel onwaarschijnlijk is dat je daar nog iets nieuws aan kunt toevoegen. Maar het gebied van de algoritmische muziek is nog volop in ontwikkeling. Het is heel goed voorstelbaar dat je door nog wat meer met je formules en het tempo en de toonhoogte van afspelen te goochelen interessante deuntjes of zelfs muziekstukken krijgt.

Gebruikersavatar
Berichten: 125

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Fourier Transform Wave Divisor Function.

Al een heel wat maanden verzoek ik een methode de Fourier transformatie van de wave divisor functie te bepalen. Hier volgt een methode plus een simulatie in Jupyter notebook.

De wave divisor functie bestaat uit een pulse outline gemoduleerd met een hoog frequent signaal:

\( \Re(\sigma_{0})=\sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty}\cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right) \cos \left( \frac{N\pi}{\mathbb{X}}x \right)\)

N bepaald de pulse breedte en is zo gedefineerd dat alle pulsen de gelijke breedte hebben met: \(L\) pulseheight op positie \(\Delta x\). \(N\) moet een positief even geheel getal zijn om positieve pulsen te verkrijgen:

\( N(\mathbb{X}) \approx \lim_{\mathbb{X} \rightarrow \infty} \frac{\log(L)}{\log \left( \cos \left( \frac {\pi}{\mathbb{X} } \Delta x \right) \right)} = - \frac{2 \mathbb{X}^2 \log(L)}{\pi^2 \Delta x^2}\)

De eerste term \(cos^{N}\) kan vereenvoudigd worden dit is de puls outline. De pulse outline vormt een Gauss achtige curve rond de oorsprong voor: \(\mathbb{X} \rightarrow \infty\):

\(O(x)=\lim_{\mathbb{X} \rightarrow \infty}\cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right)= e^{a x^{2}}\)

\(a=\frac{\log(L) \space}{\Delta x^{2}}=constant\)

De hoogfrequent term \(HF(\mathbb{X})\) geeft een linear verband met \(\mathbb{X}\) voor: \(\mathbb{X} \rightarrow \infty\).

\( HF(\mathbb{X})= \cos \left( \frac{N\pi}{\mathbb{X}} x \right) \approx \cos (b x)\)

\(b(\mathbb{X}) = \frac{N}{\mathbb{X}}\pi \approx \alpha \mathbb{X} = constant \cdot \mathbb{X}\)

Dus voor \(\mathbb{X} \rightarrow \infty \) de wave divisor functie banaderd:

\(\Re(\sigma_{0})\rightarrow \sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty}e^{a x^{2}} \cos (b x) \)

De wave divisor functie bij oneindig kan Fourier getransformeerd worden naar het frequency domein. De volgende definitie van de Fourier transformatie is gebruikt:

\(\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x) \space e^{-2 \pi ix \xi} \space dx\)

Met behulp van Wolfram Alpha is de oplossing bepaald. Het frequentie spectrum voor een individuele divisor golf bestaat uit een Gauss achtige curve gespiegeld in de y-as.

\(\hat{\sigma}_{0}(\xi)= \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{-a}} \left( e^{(b-2 \pi \xi)^{2} /4a} + e^{(b+2 \pi \xi)^{2} /4a} \right)\)

Ieder getal heeft minimaal een divisor wave. Door de lineaire eigenschappen van de Fourier transformatie kunnen de spectra van de divisors van een getal opgeteld worden. Een simulatie is gemaakt in onderstaand Jupyter notebook. De simulatie geeft de waveform in het time domain en het frequentie spectrum. Ook kan is er een audio transformatie zodat met het signaal kan horen.

https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... udio.ipynb

Selecteer na het laden (kan enkele minuten duren) van de pagina menu: [Cell] ->[Run All] om notebook interactief te maken.

Groeten,

Vincent

Gebruikersavatar
Berichten: 4.297

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Ken je onderstaande tabel al?

https://authors.library.caltech.edu/434 ... me%201.pdf

Daar is veel in te vinden.

En heb je ook een exacte formule voor N? Dat maakt het voor ons makkelijker om mee te denken over de gezochte fouriergetransformeerde.

Gebruikersavatar
Berichten: 125

Re: Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

Professor Puntje schreef:
zo 13 okt 2019, 15:27
Ken je onderstaande tabel al?

https://authors.library.caltech.edu/434 ... me%201.pdf

Daar is veel in te vinden.

En heb je ook een exacte formule voor N? Dat maakt het voor ons makkelijker om mee te denken over de gezochte fouriergetransformeerde.
\( N(\mathbb{X}) = \frac{\log(L)}{\log \left( \cos \left( \frac {\pi}{\mathbb{X} } \Delta x \right) \right)}\)
N(X).png
Definitie is gegeven al in eerste post. Ook in samenvatting welke ik naar jouw advies gemaakt had.

Gr,

Vince

Reageer