Pagina 1 van 1

Waaraan is f(x)dx gelijk?

Geplaatst: do 20 jun 2019, 11:18
door AdvanderVen
Stel ik heb f(x) = x2. Hoe ziet dan f(x)dx eruit?

Re: Waaraan is f(x)dx gelijk?

Geplaatst: do 20 jun 2019, 11:23
door tempelier
AdvanderVen schreef:
do 20 jun 2019, 11:18
Stel ik heb f(x) = x2. Hoe ziet dan f(x)dx eruit?
x2dx

Re: Waaraan is f(x)dx gelijk?

Geplaatst: do 20 jun 2019, 11:44
door TD
Wat is de context van je vraag?

Re: Waaraan is f(x)dx gelijk?

Geplaatst: do 20 jun 2019, 14:39
door AdvanderVen
Als
$$g(x) = \frac{\lambda}{(\lambda x+1)^2}$$
en
$$
f_\alpha(x) = \frac{\alpha}{(x+1)^{\alpha+1}}
$$
Dan kun je als volgt f van g krijgen,
$$
f_1(x)dx = \frac{1}{(x+1)^2}dx = \frac{\lambda d\tilde{x}}{(\lambda \tilde{x}+1)^2} = g(\tilde{x})d\tilde{x}
$$
waarbi de substitutie $$x = \lambda\tilde{x}$$ is gebruikt. Maar ik begrijp de gelijkheden niet.

Re: Waaraan is f(x)dx gelijk?

Geplaatst: do 20 jun 2019, 14:50
door TD
Welke begrijp je niet? In de ketting van drie is de eerste gewoon de definitie van f gebruiken en de laatste die van g gebruiken. Voor de middelste, gebruik de gegeven substitutie \(x = \lambda\tilde{x}\) en er volgt:

\(\frac{1}{(x+1)^2}dx = \frac{1}{(\lambda\tilde{x}+1)^2}d\left(\lambda\tilde{x}\right) = \frac{\lambda}{(\lambda \tilde{x}+1)^2} d\tilde{x}\)

omdat \(d\left(\lambda\tilde{x}\right)=\lambda d\tilde{x}\).

Re: Waaraan is f(x)dx gelijk?

Geplaatst: do 20 jun 2019, 16:22
door AdvanderVen
In de ketting van de drie
$$
\frac{1}{(x+1)^2}dx = \frac{\lambda d\tilde{x}}{(\lambda \tilde{x}+1)^2} = g(\tilde{x})d\tilde{x}
$$
begrijp ik de overgang van de eerste naar de tweede. Het is een kwestie van substitutie. In de overgang van de tweede naar de derde begrijp ik het nu ook vanwege de regel die je me gegeven hebt en die ik me niet realizeerde.

Nu zijn
$$f(x) = \frac{\alpha}{((x+1)^{\alpha+1})}$$
en
$$g(x) = \frac{\lambda}{(\lambda x+1)^2}$$
kansdichtheidsfuncties en je kunt dus f(x) krijgen door g(x) te herschalen. Nu is f(x) een speciaal geval van een Pareto verdeling, Blijft het dan ook interessant om g(x) als een aparte verdeling te beschouwen? Het is net zoiets als bij de logistische verdeling en de log-logistische verdeling. De éne is een herscahling van de ander, maar toch worden beide verdelingen als aparte verdelingen beschouwd.

Re: Waaraan is f(x)dx gelijk?

Geplaatst: vr 21 jun 2019, 11:54
door AdvanderVen
Dankzij uw hulp heb ik inmiddels ontdekt dat de dichtheidsfunctie
$$
\frac{\lambda}{(\lambda x + 1)^2}
$$
verkregen kan worden middels een Pareto Type II verdeling

https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution

oftewel Lomax verdeling:

https://en.wikipedia.org/wiki/Lomax_distribution

De Lomax verdeling heeft als dichtheidsfunctie
$$
\frac{\alpha}{\lambda}\frac{1}{(1+\frac{x}{\lambda})^{\alpha+1}}
$$
Voor $$\alpha = 1$$ en $$\lambda = 1$$ krijg je
$$\frac{1}{(1+x)^2}$$
en als je dan x herschaalt met $$\lambda x$$ krijg je de gevraagde verdeling.