integraal deltafunctie

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 59

integraal deltafunctie

Hoi,
\(\int_0^0 {\displaystyle \delta (x)} \,\mbox{d}x\)
Is deze integraal 0 of 1?

\(\int_{-∞}^{+∞} {\displaystyle \delta (x)} \,\mbox{d}x = 1\)
en
\(\delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}\)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Berichten: 427

Re: integraal deltafunctie

0. Als je integreert over een interval met maat nul krijg je zover ik weet per definitie 0.

Omdat dit rigorous te doen heb je distributietheorie nodig.

Een stukje context helpt ook.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.696

Re: integraal deltafunctie

Voor gewone functies zou dat 0 zijn, maar de deltafunctie van Dirac is geen functie. Om daar wiskundig correct mee te kunnen rekenen heb je distributies of gegeneraliseerde functies nodig. En dat is weer een studie op zich. Echter voor technische en natuurkundige toepassingen komt men er meestal wel uit met wat vage praat en een pseudo-definitie, en dat gaat meestal ook wel goed. Dat wil zeggen: zolang je maar geen moeilijke vragen stelt zoals in je openingspost. ;)

(Voor mijzelf was diezelfde vraag al in mijn schooltijd reden om mij in de theorie van distributies te verdiepen.)

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 2.449

Re: integraal deltafunctie

Categorie 0/0?

Berichten: 59

Re: integraal deltafunctie

Professor Puntje schreef:
zo 08 dec 2019, 11:37
Voor gewone functies zou dat 0 zijn, maar de deltafunctie van Dirac is geen functie. Om daar wiskundig correct mee te kunnen rekenen heb je distributies of gegeneraliseerde functies nodig. En dat is weer een studie op zich. Echter voor technische en natuurkundige toepassingen komt men er meestal wel uit met wat vage praat en een pseudo-definitie, en dat gaat meestal ook wel goed. Dat wil zeggen: zolang je maar geen moeilijke vragen stelt zoals in je openingspost. ;)

(Voor mijzelf was diezelfde vraag al in mijn schooltijd reden om mij in de theorie van distributies te verdiepen.)
Dus ik mag een diracdelta nooit afzonderlijk beschouwen?
Xilvo schreef:
zo 08 dec 2019, 11:43
Categorie 0/0?
x gaande van 0 tot 0

Gebruikersavatar
Berichten: 4.696

Re: integraal deltafunctie

Het is van belang voor welk vakgebied (of met welke persoonlijke interesse) je je vraag stelt. Zuiver wiskundigen stellen andere eisen aan een uitleg dat technici of natuurkundigen.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 2.449

Re: integraal deltafunctie

FFish schreef:
zo 08 dec 2019, 11:51
Xilvo schreef:
zo 08 dec 2019, 11:43
Categorie 0/0?
x gaande van 0 tot 0
Dat begrijp ik maar dat bedoelde ik niet.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.696

Re: integraal deltafunctie

Wat er uit komt (en of er wel iets uitkomt) zal afhangen van welke specifieke theorie van de deltafunctie men gebruikt (er zijn er vele).


Gebruikersavatar
Berichten: 2.913

Re: integraal deltafunctie

Het gaat om de pulsfunctie en is strikt genomen helemaal geen functie.

De gevraagde integraal kan inhoud worden gegeven door hem als tweemaal oneigenlijk te beschouwen en de Cauchy waarde te nemen.

Omdat de Laplace transformatie wel bestaat is hij nogal populair onder elektro-mensen.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.088

Re: integraal deltafunctie

Deze bijvoorbeeld
Dirac Deltafunction.png
Dirac Deltafunction.png (6.62 KiB) 834 keer bekeken

Berichten: 427

Re: integraal deltafunctie

Professor Puntje schreef:
zo 08 dec 2019, 11:37
Voor gewone functies zou dat 0 zijn, maar de deltafunctie van Dirac is geen functie.
Dus...? Is het voor distributies/delta'functies' geen nul?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.696

Re: integraal deltafunctie

flappelap schreef:
ma 09 dec 2019, 06:15
Professor Puntje schreef:
zo 08 dec 2019, 11:37
Voor gewone functies zou dat 0 zijn, maar de deltafunctie van Dirac is geen functie.
Dus...? Is het voor distributies/delta'functies' geen nul?
Ik vermoed dat het van je precieze definitie afhangt. Het kan ook nog "ongedefinieerd" zijn. Maar dat moet ik dan nazoeken want ik heb die kennis niet meer zo paraat.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.913

Re: integraal deltafunctie

flappelap schreef:
ma 09 dec 2019, 06:15
Professor Puntje schreef:
zo 08 dec 2019, 11:37
Voor gewone functies zou dat 0 zijn, maar de deltafunctie van Dirac is geen functie.
Dus...? Is het voor distributies/delta'functies' geen nul?
Het is een limiet waarde.
Je maakt hem vrij eenvoudig.

Maak een vierkant O(0,0) , A(1,0) , B(1,1) , C(0,1)

Er wordt nu met A over de Xas geschoven richting O ,
maar zo dat B en C mee schuiven en er een rechthoek blijft met een oppervlakte van 1.
De pseudo functie is dan de limiet van het oppervlak die 1 is.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.696

Re: integraal deltafunctie

Het is niet zo simpel, hoewel dat in veel elektrotechnische boeken wel zo wordt beschreven. Wat je beter kunt doen is de deltafunctie beschouwen niet als de limiet van een rij steeds steilere piekfuncties maar als die rij piekfuncties zelf. Die piekfuncties kunnen dan zo gekozen worden dat ze oneindig vaak differentieerbaar zijn. Met nog wat handige aanvullende definities kun je er dan heel behoorlijk mee rekenen. Voor een "gewone" functie f neem je dan een oneindige rij van steeds diezelfde functie f. Zo maak je een uitgebreide klasse van "rij-functies" waarin zowel gegeneraliseerde functies als representanten van alle "gewone" functies vertegenwoordigd zijn.

Berichten: 59

Re: integraal deltafunctie

Professor Puntje schreef:
ma 09 dec 2019, 10:06
Wat je beter kunt doen is de deltafunctie beschouwen niet als de limiet van een rij steeds steilere piekfuncties maar als die rij piekfuncties zelf.
Wat bedoel je hier precies mee?
Of kan je misschien een voorbeeld geven?

Reageer