Engels wiskundevraagstuk
-
- Berichten: 19
Engels wiskundevraagstuk
Hi Mensen!
in mijn tekstboek staat een verdiepende calculusopgave waarvan ik door de bomen het bos niet meer zie.
de opgave luidt als volgt'
''For any number c, we let fc(x) be the smaller number of the two numbers (x-c)^2 and (x-c-2)^2.
Then we define g(c) = ∫fc(x)dx. [integraal van 0 tot 1]
find the maximum and minimum values of g(c) if -2≤c≤2''
ik heb dit als volgt vertaald naar het Nederlands
''voor elk getal c laten we fc(x) de kleinere zijn van de twee nummers (x-c)^2 and (x-c-2)^2.
hierna stellen we g(c) = ∫fc(x)dx. [integraal van 0 tot 1]
vind de maximale en minimale waarden van g(c) als -2≤c≤2''
heeft een van jullie toevallig een idee om hier een antwoord uit te krijgen? ik heb beide formules in Geogebra gezet met een schuifregelaar, en kom hier tot de conclusie dat het twee dalparabolen zijn waarvan de horizontale verplaatsing te regelen is door c.
groetjes van mij
in mijn tekstboek staat een verdiepende calculusopgave waarvan ik door de bomen het bos niet meer zie.
de opgave luidt als volgt'
''For any number c, we let fc(x) be the smaller number of the two numbers (x-c)^2 and (x-c-2)^2.
Then we define g(c) = ∫fc(x)dx. [integraal van 0 tot 1]
find the maximum and minimum values of g(c) if -2≤c≤2''
ik heb dit als volgt vertaald naar het Nederlands
''voor elk getal c laten we fc(x) de kleinere zijn van de twee nummers (x-c)^2 and (x-c-2)^2.
hierna stellen we g(c) = ∫fc(x)dx. [integraal van 0 tot 1]
vind de maximale en minimale waarden van g(c) als -2≤c≤2''
heeft een van jullie toevallig een idee om hier een antwoord uit te krijgen? ik heb beide formules in Geogebra gezet met een schuifregelaar, en kom hier tot de conclusie dat het twee dalparabolen zijn waarvan de horizontale verplaatsing te regelen is door c.
groetjes van mij
- Moderator
- Berichten: 9.986
Re: Engels wiskundevraagstuk
Ik zou om te beginnen kijken (bij zekere waarde voor c) voor welke x, (x-c)2 of (x-c-2)2 de kleinste waarde oplevert.
Dat kun je doen door uitschrijven. Het makkelijkst is het (denk ik) als je (x-c-2)2 schrijft als ((x-c)-2)2.
Als dat omslagpunt tussen 0 en 1 ligt weet je dat je in een deel van dat interval (x-c)2, in het resterende stuk (x-c-2)2 moet integreren.
Dat kun je doen door uitschrijven. Het makkelijkst is het (denk ik) als je (x-c-2)2 schrijft als ((x-c)-2)2.
Als dat omslagpunt tussen 0 en 1 ligt weet je dat je in een deel van dat interval (x-c)2, in het resterende stuk (x-c-2)2 moet integreren.
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Engels wiskundevraagstuk
Laat -2≤c≤2 een gegeven getal zijn. dan is fc = min[(x-c)²,(x-c-2)²] en
\(g(c)=\int_0^1f_c(x)dx\)
Merk op dat (x-c)² = x²-2cx+c² en (x-c-2)² = [x-(c+2)]² = x²-2(c+2)x+(c+2)². Laten we eens kijken wat we krijgen door x²-2cx+c² = x²-2(c+2)x+(c+2)² te stellen. Dit geeft: -4x = 4c+4, dus x = -1-c. Dit geeft dus (-1-c,[1+2c²]) als gemeenschappelijk snijpunt. Omdat x varieert van 0 tot 1 varieert c van -2 tot -1. Voor x²-2cx+c²<x²-2(c+2)x+(c+2)² vinden we: -4x< 4c+4, dus x>-1-c. Er geldt dan dat -1<c≤2. Voor x²-2cx+c²>x²-2(c+2)x+(c+2)² vinden we: -4x>4c+4, dus x<-1-c. Er geldt dan dat --2≤c<-1. Voor --2≤c<-1 geldt dan dat \(g(c)=\int_0^1x^2-2cx+c^2dx\)
Voor -2≤c≤-1 geldt dat g(c) = 0 en voor -1<c≤2 geldt dan dat \(g(c)=\int_0^1x^2-2(c+2)x+(c+2)^2dx\)
-
- Berichten: 19
Re: Engels wiskundevraagstuk
is het hier niet de bedoeling dat je (x-c)^2 > (x-c-2)^2 steltmathfreak schreef: ↑za 04 jan 2020, 20:15 Laat -2≤c≤2 een gegeven getal zijn. dan is fc = min[(x-c)²,(x-c-2)²] en\(g(c)=\int_0^1f_c(x)dx\)Merk op dat (x-c)² = x²-2cx+c² en (x-c-2)² = [x-(c+2)]² = x²-2(c+2)x+(c+2)². Laten we eens kijken wat we krijgen door x²-2cx+c² = x²-2(c+2)x+(c+2)² te stellen. Dit geeft: -4x = 4c+4, dus x = -1-c. Dit geeft dus (-1-c,[1+2c²]) als gemeenschappelijk snijpunt. Omdat x varieert van 0 tot 1 varieert c van -2 tot -1. Voor x²-2cx+c²<x²-2(c+2)x+(c+2)² vinden we: -4x< 4c+4, dus x>-1-c. Er geldt dan dat -1<c≤2. Voor x²-2cx+c²>x²-2(c+2)x+(c+2)² vinden we: -4x>4c+4, dus x<-1-c. Er geldt dan dat --2≤c<-1. Voor --2≤c<-1 geldt dan dat\(g(c)=\int_0^1x^2-2cx+c^2dx\)Voor -2≤c≤-1 geldt dat g(c) = 0 en voor -1<c≤2 geldt dan dat\(g(c)=\int_0^1x^2-2(c+2)x+(c+2)^2dx\)
dan zou je uitkomen op x=c+1 als gezamenlijk snijdpunt
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Engels wiskundevraagstuk
Laten we eens uitgaan van (x-c)² = [x-(c+2)]², dan geldt : x-c = x-c-2 of x-c = -x+c+2, dus x-c = -x+c+2, dus x = c+1. Ik heb me dus blijkbaar in mijn berekening vergist. Voor (x-c)²<[x-(c+2)]² geldt: -x+c+2<x-c, dus x>c+1.
Voor (x-c)²>[x-(c+2)]² geldt: x<c+1. Omdat x varieert van 0 tot 1 kun je dus voor de 3 genoemde gevallen bepalen wat er dan voor c moet gelden. In het eerste geval vind je dat fc(x) = 0, het tweede geval geeft: fc(x) = (x-c)². In het derde geval geldt: fc(x) =[x-(c+2)]².
Voor (x-c)²>[x-(c+2)]² geldt: x<c+1. Omdat x varieert van 0 tot 1 kun je dus voor de 3 genoemde gevallen bepalen wat er dan voor c moet gelden. In het eerste geval vind je dat fc(x) = 0, het tweede geval geeft: fc(x) = (x-c)². In het derde geval geldt: fc(x) =[x-(c+2)]².
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Berichten: 19
Re: Engels wiskundevraagstuk
dank jullie! intussen heb ik het antwoord gevonden! alleen een kleine vraag verder:
Laat -2≤c≤2 een gegeven getal zijn. dan is fc = min[(x-c)²,(x-c-2)²]
wat houdt de fc = min[(x-c)²,(x-c-2)²] in? wat bereken ik hiermee? waarom is dit Min?
groetjes
Laat -2≤c≤2 een gegeven getal zijn. dan is fc = min[(x-c)²,(x-c-2)²]
wat houdt de fc = min[(x-c)²,(x-c-2)²] in? wat bereken ik hiermee? waarom is dit Min?
groetjes
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Engels wiskundevraagstuk
De functie fc is gedefinieerd als het minimum van (x-c)² en (x-c-2)², dus fc geeft je de kleinste waarde van deze uitdrukkingen.wat houdt de fc = min[(x-c)²,(x-c-2)²] in? wat bereken ik hiermee? waarom is dit Min?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel