minimale afstand

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Berichten: 2.368

minimale afstand

minimale afstand.png
minimale afstand.png (10.84 KiB) 3569 keer bekeken
Wat is de minimale afstand tussen de parabolen?
Op een vrij bewerkelijke manier kom ik uit op 2,575551465
Ik ga er vanuit dat dit goed is. Kan dat niet sneller denk ik dan!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Berichten: 597

Re: minimale afstand

Ik zou denk ik:
Stel, f(x1)=1+x1^2 en g(x2)=-(x2-2)^2
* aanname: kortste afstand is een lijn die loodrecht op beide curves staat,
* dus beide curves moeten parallel lopen. Afgeleide gelijkstellen. Daaruit komt een relatie tussen x1 en x2 (x1=2-x2)
* En dan met pythagoras afstand is: (x1-x2)^2+(f(x1)-g(x2))^2. En deze minimaliseren. (de wortel kan je weglaten voor het minimalisatieprobleem)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.368

Re: minimale afstand

Je beschrijft eigenlijk de methode die ik hier heb toegepast....alleen dat minimaliseren is niet nodig omdat de coördinaten van de snijpunten dan al bekend zijn
Laatst gewijzigd door ukster op zo 12 jan 2020, 14:59, 1 keer totaal gewijzigd.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.401

Re: minimale afstand

Ruim 2,5 lijkt me te groot.
Ik kom (ook vrij omslachtig) op ongeveer 1,78 uit.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.368

Re: minimale afstand

Heb ik wellicht toch ergens een fout gemaakt... nog maar eens nalopen 8-)

Gebruikersavatar
Berichten: 115

Re: minimale afstand

Wolfram Alpha geeft bij
minimize | sqrt((s^2 + (t - 2)^2 + 1)^2 + (s - t)^2)
als antwoord
min{sqrt((s^2 + (t - 2)^2 + 1)^2 + (s - t)^2)}≈1.78199 at (s, t)≈(0.423854, 1.57615)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.137

Re: minimale afstand

Ik ben niet overtuigd dat men zomaar mag zeggen dat die kortste verbinding de parabolen loodrecht snijdt,
misschien is dit zo maar dat moet dan wel bewezen worden.

Ik dacht het anders op te lossen:
Bepaal de lijn die maakt dat de parabolen daarin elkaars gespiegelden zijn.

Bepaal nu de kortste afstand van die lijn tot een van de parabolen.
daarmee zou het opgelost zijn dacht ik.

PS.
Formeel moet wel bewezen worden dat mijn oplossing juist is maar dat is een eitje.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.368

Re: minimale afstand

Dat kan toch alleen als de ene functie de inverse functie is van de andere functie?


Gebruikersavatar
Berichten: 3.137

Re: minimale afstand

ukster schreef:
zo 12 jan 2020, 15:54
Dat kan toch alleen als de ene functie de inverse functie is van de andere functie?
Dan zijn ze gespiegeld in de lijn x=y.

Dat hoeft echter niet algemeen te gelden, voor spiegeling is voldoende dat ze congruent zijn wat hier zo is.

Gebruikersavatar
Berichten: 115

Re: minimale afstand

@tempelier. Dat punt op een van die parabolen dat het kortst bij de spiegelas ligt, zal een raaklijn aan die parabool hebben die evenwijdig is met de spiegelas. Als dat niet zo zou zijn, dan zijn er punten op de raaklijn (en dus ook de parabool) die dichter bij de spiegelas zouden liggen, in tegenspraak met de minimaliteit. Het komt dus eigenlijk op het zelfde neer.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.137

Re: minimale afstand

Bart23 schreef:
zo 12 jan 2020, 16:01
@tempelier. Dat punt op een van die parabolen dat het kortst bij de spiegelas ligt, zal een raaklijn aan die parabool hebben die evenwijdig is met de spiegelas. Als dat niet zo zou zijn, dan zijn er punten op de raaklijn (en dus ook de parabool) die dichter bij de spiegelas zouden liggen, in tegenspraak met de minimaliteit. Het komt dus eigenlijk op het zelfde neer.
Ben niet overtuigt dat dit een goed bewijs is, het is slecht een redenering wat wat anders is.

Het komt ook niet op het zelfde neer, met mijn methode is er slechts een variabel waarvoor een minimum moet worden gezocht.

Met de anndere is dat voor twee variabelen wat lastiger is.

Berichten: 597

Re: minimale afstand

tempelier schreef:
zo 12 jan 2020, 15:41
Ik ben niet overtuigd dat men zomaar mag zeggen dat die kortste verbinding de parabolen loodrecht snijdt,
misschien is dit zo maar dat moet dan wel bewezen worden.
Onder voorwaarde dat de lijnen elkaar niet snijden:
Stel dat de aangenomen kortste verbinding niet haaks op de parabool staat, dan kan er dus een ander punt gevonden worden dat dichterbij ligt. (aanname: in een klein stukje paraboolsegment neem je aan dat deze recht is. Dan is de huidige afstand de schuine zijde van een rechthoekige driehoek, het paraboolsegment is dan de korte zijde, en die nieuwe kortste afstand de lange zijde.)

[edit:]
Bij nader inzien: de kortste afstand tussen een punt en een curve is de lijn die haaks op die curve staat. Dat lijkt me reeds bewezen? Dus voor het punt op het midden van de lijn die de kortste afstand tussen 2 curves weergeeft, moet dit ook gelden (aan beide zijden). En in deze lijn die de kortste afstand weergeeft, zit natuurlijk geen knik.
Dus kan het niet anders dan dat deze kortste afstand haaks op beide curve's staat.
[/edit]

Heb je een voorbeeld dat het tegendeel bewijst?

N.B. Hier mijn oplossing:
Bijlagen
Screen Shot 2020-01-12 at 16.18.39.png
Screen Shot 2020-01-12 at 16.17.54.png
Laatst gewijzigd door CoenCo op zo 12 jan 2020, 16:28, 1 keer totaal gewijzigd.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.137

Re: minimale afstand

Je verhaal is niet juist.
Je fixeert namelijk het andere punt en dat mag niet.
Het is niet eens gezegd dat de korste verbinding uniek is.

Dat van de loodrechtheid klopt denk ik wel, maar het formeel bewijzen is nog niet zo gemakkelijk lijkt me.

Berichten: 597

Re: minimale afstand

(zie edit hierboven)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.368

Re: minimale afstand

ukster schreef:
zo 12 jan 2020, 15:01
Heb ik wellicht toch ergens een fout gemaakt... nog maar eens nalopen 8-)
ik krijg nu inderdaad (volledig handmatig) de minimale afstand van 1,7819
x-y coördinaten snijpunten:
(0,42386 , 1,17965)
(1,57614 , -0,17965)
de decimalen in de y-waarde komen overeen. is dat logisch?
Laatst gewijzigd door ukster op zo 12 jan 2020, 16:51, 1 keer totaal gewijzigd.

Reageer