Hier gaat dit topic over:
\(\)
\( (\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t})^2 + (\frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}t})^2 = a x^2 \,\,\, \& \,\,\, x(0)=0 \)
\(\)
Laten we voor overeenstemming met het boek eerst y voor x schrijven. Dat geeft:
\(\)
\( (\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})^2 + (\frac{\mathrm{d}(y^2)}{\mathrm{d}t})^2 = a y^2 \,\,\, \& \,\,\, y(0)=0 \)
\(\)
En verder:
\(\)
\( (\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})^2 + (2 y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})^2 = a y^2 \,\,\, \& \,\,\, y(0)=0 \)
\(\)
\( (\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})^2 + 4 y^2 (\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})^2 = a y^2 \,\,\, \& \,\,\, y(0)=0 \)
\(\)
\( (\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})^2 (1 + 4 y^2) = a y^2 \,\,\, \& \,\,\, y(0)=0 \)
\(\)
\( (\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})^2 = \frac{a y^2}{ 1 + 4 y^2 } \,\,\, \& \,\,\, y(0)=0 \)
\(\)
We nemen voor het gemak ook nog aan dat a en y niet-negatief zijn. Zodat:
\(\)
\( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \pm \frac{\sqrt{a} \, y}{\sqrt{ 1 + 4 y^2 }} \,\,\, \& \,\,\, y(0)=0 \)
\(\)
(Wat overeenkomt met Marko's eerdere resultaat.)
Maar nu ontstaat er een probleem: is de plus of de min van toepassing? Of zijn er oplossingen waarbij voor sommige t de plus en voor andere t de min van toepassing is? Er is in ieder geval één oplossing die voldoet onverschillig of er een plus of een min staat, namelijk y(t) ≡ 0. Hoe dan ook om theorema 2.8.1 te kunnen toepassen moet hier een keuze worden gemaakt. Laten we daarom eens bekijken wat we vinden als de plus voor alle t van toepassing is. Dan komt er:
\(\)
\( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{\sqrt{a} \, y}{\sqrt{ 1 + 4 y^2 }} \,\,\, \& \,\,\, y(0)=0 \)
\(\)
Of anders geschreven:
\(\)
\( y' = f(t,y) \,\,\, \mbox{met} \,\,\, f(t,y) = \frac{\sqrt{a} \, y}{\sqrt{ 1 + 4 y^2 }} \,\,\,\,\,\, \& \,\,\,\,\,\, y(0)=0 \)
\(\)
\(\)
Morgen weer verder...
