Oplossingen van differentiaalvergelijking

[OOOVincentOOO]

Op de link van Physics exchange staat dit:

"I wonder if this problem goes away if you allow only C∞ (infinitely differentiable) solutions to the equations of motion, or if a dome can be contrived so that a Bump Function of time is a solution. – Dzamo Norton Oct 14 '12 at 4:36"

In het commentaar staat weer een antwoord en linked naar:

https://math.stackexchange.com/question ... al-physics

Is dat enigsinds gerelateerd?

[Marko]

Dat is zeker gerelateerd, en een van de reacties vat het treffend samen:

The reason for the apparent non-deterministic result, is that he then creates a piecewise equation, stitching the two solutions together at arbitrary time t which is plain bizarre. It has no physical justification at all! The solutions are both mathematically correct, but even if both were Newtonian, you can't just stitch equations with different initial conditions together and claim that still represents physics. It's just nonsense.

[CoenCo]

De door jou voorgestelde dv met de gegeven randvoorwaarde is in de vorm:
b^2 + c^2 = a * x(t)
Op t=0 geldt dan:
b^2 + c^2 = a * x(0)= a*0 = 0

Als we de imaginaire oplossingen buiten beschouwing laten (voorzover die bestaan, ik heb geen idee), dan kan het niet anders dat b^2>=0 en c^2>=0. Dus b=c=0

Tot hier kan ik het volgen. Je hebt zo bewezen dat b(t) = c(t) = 0 voor t=0. Maar het vervolg vat ik niet.

Het is eigenlijk een numerieke benadering.
Eerst lineariseren we x(t) op het punt t=0.
Rondom het punt t=0 geldt:
x(0+delta_t)=x(0)+delta_t*(dx/dt)

We wisten al: b(0)=0=dx/dt(t=0)
Dus:
x(0+delta_t)=x(0)+delta_t*0 = x(0) = 0

Na het verstrijken van delta_t ligt de bal nog steeds op x=0. Is de snelheid misschien veranderd? Nee, in de quote hebben we al bepaald dat dx/dt=0 voor x=0.

We zouden nu opnieuw een tijdstap kunnen doen, maar deze is weer identiek aan de vorige. Nothing happens.

[Professor Puntje]

Mooi! Terug naar het topic: de oplossing(en) van de DV.

@ CoenCo . Maar dan vertrouw je erop dat je met een numerieke benadering alle mogelijke oplossingen vindt. Kun je met een numerieke benadering bij dezelfde beginvoorwaarden die eventuele andere oplossingen eigenlijk wel vinden?

[CoenCo]

Goede vraag, geen idee.

[Professor Puntje]

Wat vind je numeriek als oplossing(en) voor:

\(\)

\( (\dot{x})^2 = 4 x \\ x(0) = \dot{x}(0) = 0 \)

[Marko]

Waarom schrijf je de DV niet als dx/dt = ... waarbij je de te gebruiken wortel kiest op basis van de situatie in kwestie?

[CoenCo]

Laten we beginnen met de vraag of de DV uberhaupt correct is opgesteld. Ik zou verwachten dat het een 2e orde DV moet zijn, met een versnelling en dus een d^2/dt^2 term erin. Die zie ik niet terug.

[Professor Puntje]

Wat vind je numeriek als oplossing(en) voor:

\(\)

\( (\dot{x})^2 = 4 x \\ x(0) = \dot{x}(0) = 0 \)

Laten we beginnen met de vraag of de DV uberhaupt correct is opgesteld. Ik zou verwachten dat het een 2e orde DV moet zijn, met een versnelling en dus een d^2/dt^2 term erin. Die zie ik niet terug.

Vergeet a.u.b Norton's dome en aanverwante zaken, daar gaat dit topic niet over. Hier ben ik geïnteresseerd in de vraag hoe de DV uit de openingspost op een zodanige manier is op te lossen dat je zeker weet dat je alle oplossingen te pakken hebt. Dat is een wiskundige vraag en daarom heb ik deze vraag ook in 'Analyse en Calculus' gesteld. Eerder presenteerde je een numerieke aanpak waaruit een oplossing rolde, maar om te weten of dat de enige oplossing is moeten we weten of je numerieke aanpak wel alle oplossingen oplevert. Ik vermoed dat dat niet altijd het geval is, en daarom heb ik het boven geciteerde tegenvoorbeeld in elkaar gezet. Waarom zou er in een dergelijk DV voorbeeld een tweede afgeleide van x naar t moeten zitten?

[Marko]

Wat vind je numeriek als oplossing(en) voor:

\(\)

\( (\dot{x})^2 = 4 x \\ x(0) = \dot{x}(0) = 0 \)

Laten we beginnen met de vraag of de DV uberhaupt correct is opgesteld. Ik zou verwachten dat het een 2e orde DV moet zijn, met een versnelling en dus een d^2/dt^2 term erin. Die zie ik niet terug.

Vergeet a.u.b Norton's dome en aanverwante zaken, daar gaat dit topic niet over. Hier ben ik geïnteresseerd in de vraag hoe de DV uit de openingspost op een zodanige manier is op te lossen dat je zeker weet dat je alle oplossingen te pakken hebt. Dat is een wiskundige vraag en daarom heb ik deze vraag ook in 'Analyse en Calculus' gesteld. Eerder presenteerde je een numerieke aanpak waaruit een oplossing rolde, maar om te weten of dat de enige oplossing is moeten we weten of je numerieke aanpak wel alle oplossingen oplevert. Ik vermoed dat dat niet altijd het geval is, en daarom heb ik het boven geciteerde tegenvoorbeeld in elkaar gezet. Waarom zou er in een dergelijk DV voorbeeld een tweede afgeleide van x naar t moeten zitten?

Los van Nortons dome. Een DV is een DV. Die zegt niets meer dan een bepaald verband tussen de afgeleide(n) van iets en andere dingen. Er zijn altijd meerdere oplossingen mogelijk, en met één benadering vind je nooit alle oplossingen.
Dat hoeft ook niet, want de rand- en beginvoorwaarden bepalen uiteindelijk welke je moet hebben.

De DV in dit topic is volgens mij te herschrijven als

\(\frac{dx}{dt}=\pm\frac{\sqrt{a}x}{\sqrt{4x^2+1}}\)

Als jij Wolfram Alpha vertelt of het gezien de situatie plus of min moet zijn, doet dat programma de rest.

[Xilvo]

De DV in dit topic is volgens mij te herschrijven als

\(\frac{dx}{dt}=\pm\frac{\sqrt{a}x}{\sqrt{4x^2+1}}\)

Als jij Wolfram Alpha vertelt of het gezien de situatie plus of min moet zijn, doet dat programma de rest.

En met beginvoorwaarde x(0)=0 blijft x(t)=0, tot in eeuwigheid.

[Marko]

Uiteraard, maar de topicstarter mag van mij best proberen wat er voor andere begincondities uitkomt.

[Professor Puntje]

De DV in dit topic is volgens mij te herschrijven als

\(\frac{dx}{dt}=\pm\frac{\sqrt{a}x}{\sqrt{4x^2+1}}\)

Dat klopt. Laten we verder voor het gemak aannemen dat a en x niet-negatief zijn. Voor a spreekt dat trouwens voor zich omdat er anders helemaal niets uit de DV komt.

Ik krijg WolframAlpha niet zover dat die de DV oplost, ik krijg enkel een alternatieve versie van de DV te zien. Dus of ik doe iets verkeerd, of je moet daar de betaalde versie van WolframAlpha voor hebben.

[CoenCo]

Wat vind je numeriek als oplossing(en) voor:

\(\)

\( (\dot{x})^2 = 4 x \\ x(0) = \dot{x}(0) = 0 \)

Numeriek (euler forward) vind ik x(t)=0. Wat overeenkomt met mijn intuïtie. Het object ligt stil, en er is niks dat voor een versnelling zorgt, dus blijft het stilliggen.

Als ik hem in wolframalpha stop zie ik ook x=t^2 als oplossing.
Kijk ik naar de step-by step solution:

Dan zie ik echter dat hij deelt door sqrt(x(0))=0. Dat lijkt me niet zomaar te mogen.

Ik geloof daarmee dat de oplossing best klopt, maar slechts voor alle punten behalve het punt x(0)=0

[Professor Puntje]

@ CoenCo

Ik heb die voorbeeld DV speciaal zo in elkaar gezet dat x = t² een geldige oplossing is (wat je eenvoudig door substitutie controleert) die je echter met jouw numerieke aanpak niet zou vinden.

Vandaar dat je niet kunt zeggen dat numerieke berekeningen automatisch alle mogelijke oplossingen opleveren. Dat zal kennelijk soms wel en soms niet het geval zijn.

Dat WolframAlpha voor het vinden van oplossingen door nul deelt heb ik al eerder gezien, daarom heb ik daar ook geen 100% vertrouwen in.