minimize

[ukster]

π/3=...?

local min max.png (12.75 KiB) 967 keer bekeken

[Xilvo]

Na differentieren en nul stellen vind ik het local minimum op θ=π/3

Weet je het zeker? Dat is 30 graden.

Vergis ik me nu of heb jij je bericht nog veranderd?

Hoe dan ook, π/3 is natuurlijk 60 graden, dan zijn we het eens.

[ukster]

Wat ik vreemd vind aan deze plot is de daling van de oppervlakte voor θ>π/2
Dat moet er toch weer net zo uitzien als voor π/2 ?
Is het misschien zo dat het definitiegebied van mijn oppervlaktefunctie loopt van 0° tot 90°

[Xilvo]

Wat ik vreemd vind aan deze plot is de daling van de oppervlakte voor θ>π/2
Dat moet er toch weer net zo uitzien als voor π/2 ?

Natuurlijk. Maar misschien neem je dan het oppervlak binnen de cirkel rechts van de 'straal' niet meer mee?

[Rik Speybrouck]

Ik kom nu op 45° of heb ik zitten prutsen

[Rik Speybrouck]

correcte vorige klopt niet sorry

[ukster]

Zie uitwerking Bart 23!
Hij komt in slechts 3 stappen tot te formule voor het totaal oppervlak A van het grijze gebied gedefinieerd voor 0≤θ≤π/2

minimum oppervlak.png (5.13 KiB) 890 keer bekeken

Minimum oppervlak voor θ=π/3
Lokaal maximum voor θ=π/2

[EvilBro]

Voor welke hoek θ is de oppervlakte van het grijze gebied minimaal.

Om dit probleem op te lossen volstaat het om naar een kwart van een cirkel te kijken (want symmetrie). Daarbij definieer ik voor het gemak de hoek phi als de hoek ten opzicht van de verticale as. De straal neem ik voor het gemak aan als 1 (maakt namelijk toch niet uit).

Voor het oppervlak van een cirkelsegment met hoek phi geldt:

\(CS = \frac{\phi}{2 \pi} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{\phi}{2}\)

Voor het oppervlak van de driehoek met hoek phi in dit segment geldt:

\(DiCS = \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)

Het oppervlak van het stuk in dit segment boven het raakpunt is dus:

\(BCS = CS - DiCS = \frac{\phi}{2} - \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)

Het resterende oppervlak van de kwart cirkel is dan:

\(RKC = \frac{\pi}{4} - BCS = \frac{\pi}{4} - \frac{\phi}{2} + \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)

Het oppervlak van de rechthoek door het raakpunt is:

\(RH = \cos(\phi)\)

Het deel daarvan dat buiten de kwart cirkel valt is:

\(B = RH - RKC = \cos(\phi) - \frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} - \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)

Het totale oppervlak is dit deel plus het deel binnen de cirkel:

\(T = B + BCS = \cos(\phi) - \frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} - \cos(\phi) \cdot \sin(\phi) + \frac{\phi}{2} - \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)

\(= \cos(\phi) - \frac{\pi}{4} + \phi - 2 \cos(\phi) \cdot \sin(\phi) = \cos(\phi) - \frac{\pi}{4} + \phi - \sin(2 \phi)\)

De afgeleide hiervan naar phi is:

\(-\sin(\phi) + 1 - 2 \cos(2 \phi)\)

Er geldt:

\(\cos(2 x) = 1 – 2 \sin^2(x)\)

dus:

\(-\sin(\phi) - 1 + 4 \sin^2(\phi)\)

Gelijkstellen aan nul:

\(4 \sin^2(\phi) -\sin(\phi) - 1 = 0\)

Substitueer sin:

\(4 z^2 - z - 1 = 0\)

abc-formule:

\(z = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}\)

ofwel:

\(\sin(\phi) = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}\)

\(\phi = \arcsin(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{8})\)

Voor theta geldt dan dus:

\(\theta = \frac{\pi}{2} - \arcsin(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{8})\)

[ukster]

deze 'losse fragmenten' methode heb ik ook min of meer op het geheel toegepast om de oppervlakte te bepalen met 60°als resultaat. Als ik het goed begrijp moet dit in jouw voorstelling 30°opleveren ,maar dat is volgens mij niet de uitkomst van je laatste formule!

[EvilBro]

Ik heb mijn fout al gevonden. De formule voor de driehoek in het cirkelsegment moet zijn:

\(DiCS = \frac{1}{2} \cdot \cos(\phi) \cdot \sin(\phi)\)

[ukster]

Ik heb het helemaal doorgelopen en het klopt inderdaad.
uitkomst θ=π/6 rad