Pagina 1 van 2

minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 18:32
door ukster
Voor welke hoek θ is de oppervlakte van het grijze gebied minimaal.
min max probleem.png
min max probleem.png (9.79 KiB) 1092 keer bekeken

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 18:46
door Xilvo
Zomaar een wilde gok: Als de aangroei van het oppervlak buiten de cirkel gelijk is aan de afname van het oppervlak erbinnen. Dat is, zo te zien, bij een hoek van 60 graden.

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 19:00
door ukster
knap dat je dergelijk dynamisch gedrag concludeert uit zo'n (statisch) plaatje

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 19:03
door Xilvo
Minima zoeken is altijd zoeken naar het punt waar er geen verandering is, afgeleide nul.
Als de aangroei buiten gelijk is aan de afname binnen, dan is dat zo'n punt.

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 19:05
door ukster
Maar wie zegt dat het niet bij bijvoorbeeld 59,1° of 63° is
Oke,volgende vraag :D
voor welke straal is de minimale oppervlakte 1

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 19:10
door Xilvo
ukster schreef: di 28 jul 2020, 19:05 Maar wie zegt dat het niet bijvoorbeeld 59,1° of 63° is
Omdat de cosinus van 60 graden een half is, en dan zijn de de twee lijnstukken buiten (samen) en het lijnstuk binnen gelijk

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 19:16
door ukster
Ja, maar om hier nu direct de conclusie aan te hangen de er sprake is van een minimale oppervlakte gaat me toch iets te ver.

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 19:17
door Xilvo
ukster schreef: di 28 jul 2020, 19:16 Ja, maar om hier nu direct de conclusie aan te hangen de er sprake is van een minimale oppervlakte gaat me toch iets te ver.
Ik heb het niet nagerekend.
Ben nu met je tweede vraag bezig.

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 19:33
door Xilvo
Oppervlak A van het grijze stuk binnen de cirkel
\(A=\frac{R^2}{2}(\theta-sin(\theta))\)
https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_segment
(andere θ, maar toevallig ook 60 graden=π/3)
Hoogte van de rechthoek
\(h=R.sin(60)=\frac{R}{2}\sqrt{3}\)
Oppervlak B van rechthoek
\(B=2h.R=R^2\sqrt{3}\)
Oppervlak C van witte stuk binnen cirkel:
\(C=\frac{1}{2}\pi R^2-A\)
Oppervlak D van zijstukken (rechthoek B min C)
\(D=R^2(\sqrt{3}-\frac{\pi}{2})+A\)
Totale grijze oppervlak G
\(G=R^2(\sqrt{3}-\frac{\pi}{2})+R^2(\theta-sin(\theta))=R^2(\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{\pi}{6})\)
Dan
\(R=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{\pi}{6}}}\)
Nogal snel gedaan, dus garantie tot de deur ;)

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 19:47
door ukster
Mooi, de uitdrukking nog even differentieren en nul stellen en θ=π/6 volgt hieruit

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 19:49
door Xilvo
ukster schreef: di 28 jul 2020, 19:47 Mooi, maar er is nog geen bewijs dat de minimale oppervlakte optreedt bij θ=60°
Weet ik, maar ik denk dat ik het goed heb en heb geen zin moeite te doen omdat na te rekenen.

Uiteraard, als m'n leven er van afhing zou ik het nog wel even controleren ;)

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 19:52
door Bart23
Ik kom op hetzelfde uit.
Afbeelding

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 19:55
door Xilvo
Bart23 schreef: di 28 jul 2020, 19:52 Ik kom op hetzelfde uit.
Mooi. Dat geeft hoop dat het goed is.

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 20:02
door ukster
Zelf kreeg ik deze uitdrukking voor de oppervlakte:
oppervlakte.png
oppervlakte.png (3.08 KiB) 1030 keer bekeken
Na differentieren en nul stellen vind ik het local minimum op θ=π/3
Er is ook nog een local maximum op θ=π/2

Re: minimize

Geplaatst: di 28 jul 2020, 20:05
door Xilvo
ukster schreef: di 28 jul 2020, 20:02 Na differentieren en nul stellen vind ik het local minimum op θ=π/3
Weet je het zeker? Dat is 30 graden.

Al moet je er voorzichtig mee zijn, volgens mij zie je op het oog al dat dat niet klopt, dat het oppervlak binnen de cirkel veel te groot wordt.