Fibonacci Priemgetal Driehoeken

[OOOVincentOOO]

nb. Het leuke nog een flimpje gedraaid waar steeds het laatste priem drietal omlijnt is. De rotatie lijkt inderdaad een effect te zijn. Dat komt denk ik doordat een zijde altijd iets korter is: p(n)<p(n+1)<p(n+2). Wat denk jij?

Denk jij niet doordat twee zijden altijd iets korter zijn? p(n)<p(n+1)<p(n+2)

[Professor Puntje]

Het zou handig zijn om een screenshot van de video te hebben met wat ingeschreven lengten van de zijden (in termen van p(n), p(n+1) en p(n+2) ), want dan wordt het ook duidelijker waar we het over hebben. Nu bewandelen we eigenlijk de omgekeerde weg, de video illustreert iets maar wat de video precies illustreert moeten we uit die video zelf afleiden.

[OOOVincentOOO]

De video is gewoon een leuke visualisatie. Het begeleidende documentje in commentaat video verteld meer achtergrond. Het is een goede oefening te verklaren wat voor een effecten men allemaal ziet en proberen te verklaren als een natuurkundige.

Maar voor mij is het duidelijk dat: p(n)<p(n+1)<p(n+2) en dus de driehoek een kleine hoek heeft dan 60 °. De video bestaat allemaal uit losse foto's dur hier frame: 10.

[Professor Puntje]

Om te begrijpen hoe de spiraal zich ontwikkelt is het ook nog nodig om te weten wat "?" in de toegevoegde rode p( ? ) is.

[OOOVincentOOO]

Ik moest even achter de oren krabben. Echter heb ik het iets anders genoteerd in onderstaande frame. Anders krijg je zoveel indexes dat het niet leesbaar is. De lange zijde groeit steeds met index +1 (de andere zijden niet) dat maakt het voor mij iets complex.

Opeenvolgend zie je de driehoeken:

2,3,5 (lijn! Geen driehoek)
3,5,7
5,7,11
7,11,13
.....

Beter is de hoek te zien in begeleidende document wat te vinden is in commentaar video. Hier ziet men de de coordinaat: x , y (uitleg, zie post: wo 29 jul 2020, 17:43). Dus de slope tussen zijde: p(n) en p(n+2). De driehoeken convergeren naar 60 ° dus de slope is: sqrt(3). Hier de grafieken op linear en log schaal.

[Professor Puntje]

OK.

[OOOVincentOOO]

Dat was een goede vraag! Ik het hetzelf ook een beetje verstopt die vraag (zie tekst hieronder). Het is wel grappig dat de priem aan lange zijden mooi doortellen naar de volgende priem.

Constructie video was zeer intuitief onstaat (driehoeken orderenen op een lijn is niet interessant). Ik had een tijdje zitten rommelen met rotaties en translaties van alle driehoeken (zodat ik uiteindelijk eerder spiralen zag dan in de video . Uiteindelijk was ik bij dat dit concept functioneerde, en besloot het te houden daarbij! De patronen staan vanzelf.

[OOOVincentOOO]

Afgelopen weekeind nog een video gemaakt met willekeurige priemgetal driehoek. Ook hier ziet men dat men convergeerd naar een gelijkzijdige driehoek: p(n+67)=p(n)+p(n+26) eerste driehoek is: [257,419,673]

Deze video heeft meer moeite gekost om een goede scalering van de assen te krijgen om zo een egaal inzoomen te krijgen.



Deze figuur heeft uiteindelijk ook drie spiralen (moeilijk zichtbaar). Echter groeien deze langzamer en daardoor roteren de blauwe driehoeken sneller (convergeert langzamer) dan de: Fibonacci priem driehoeken (uit video voorlaatste post): p(n+2)=p(n)+p(n+1).

[OOOVincentOOO]

Het probleem aan wiskunde is dat er altijd meer vragen komen dan antwoorden. Aanvankelijk wilde ik alleen een leuke video tonen met de priemgetal driehoeken. De wiskunde erachter was in het commentaar te vinden in comment video. Er is meer analyse gedaan. Samenvatting en observaties dusver:

• Met drie naeenvolgende Priemgetallen kunnen Driehoeken geconstrueerd worden:
  \(\vec{p}_{n}=\vec{p}_{n-1}+\vec{p}_{n-2}\)
  Al deze driehoeken bestaan en aangetoont met: Bertrand–Chebyshev theorem.

• Deze driehoeken convergeren naar gelijkzijdige driehoeken (zoals waargenomen in analyse simulaties). Verklaring: de gap tussen priemgetallen word verwaarloosbaar bij grote priemgetallen \(p_{n+1}=p_{n}+g_{n}\) (met dank aan Prof_P die mij heeft gemotiveerd de ingewikkelde wiki pagina nogmaals goed te lezen.

• Met deze driehoek eigenschappen kan men een voorspelling doen van het volgende priemgetal op basis van de twee voorgaande.

• De error in de priemgetal voorspelling kan bepaald worden (zie figuur beneden). Deze error is gelijk aan de voorspelling van de priemgetal gap. Meer informatie en samenvatting op stacks exchange: zie link beneden.

Uit analyse ben ik te weten gekomen dat de grootste negatieve errors alleen ontstaan bij Twin Primes. Zie diagram rechts onder eerste 20.000.000 priemgetallen, de error is zeer symmetrisch (nagenoeg evenveel positief als negatief 99.98 % balans uit deze analyse).

In het diagram is de error in primegap voorspelling geplot tegen de echte primegap van de twee voorgangers. Het vreemde is dat de blauwe driehoek (negatieve errors) hetzelfde oppevlakte heeft dan de rode driehoek (positieve errors) (0.5*h*b). De error range voor twin primes is het grootst.

Indien de error=0 dan hebben we te maken met "balanced primes" zo ben ik geweten gekomen (zie Wiki voor meer info). De error verdeling laat eigenlijk ook alle unbalanced broertjes zien.

De grote hamvraag is:

• Waarom is de error symmetrisch? Het waargenomen aantal negatieve errors is nagenoeg gelijk aan het aantal positive errors.

Ook gepost op Stacks Exchange enige tijd geleden:
https://math.stackexchange.com/q/3798631/650339

De wiskunde achter de primegaps is zeer ingewikkeld (en gaat mij boven mijn pet). Is er iemand met nummer theorie achtergrond die goede verklaringen heeft (of iemand kent die meer ervaring heeft)?

[OOOVincentOOO]

In mijn zoektocht en analyse ben ik op de volgende limit gekomen voor primegaps:

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3g_{(n-2)}^2}{p_{n}}=0\)

Heeft iemand deze primegap limiet eerder gezien? Ik heb geen bewijs maar volgt uit analyse.

Meer informatie op SE:

https://math.stackexchange.com/q/3822679/650339

[Professor Puntje]

Kennelijk geldt per definitie: g_n = p_n+1 - p_n . Zoek je nu een bewijs voor je limiet?

[OOOVincentOOO]

Inderdaad dat is de gap tussen priemgetallen.

Volgens een comment op SE kan ik mijn gevonden limiet (niet bewezen). Ook schrijven als:

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3g_{n}^2}{p_{n}}=0\)

Volgens eens comment op SE bestaat er een bewezen limiet van:

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{g_{n}^{1.9}}{p_{n}}=0\)

Mijne schijnt een beetje zwakker te zijn. Wat dit betekend weet ik nog niet. Ik heb ook nog niet durven vragen waar zijn gepresenteerde formule vandaan komt. Ik ben een beetje bang van SE. De meeste wiskunde daar gepresenteerd begrijp ik niet.

Een bewijs lijkt mij te hoog gegrepen. Het is al zeer wonderlijk dat ik met twee formules een samenhang vind met prime gaps (puur door de priemgetal driehoeken en gebalanceerde priemgetallen).

[Professor Puntje]

Wat je dus nog op SE moet vragen is wat de grootste bewezen waarde van k is waarvoor:

\(\)

\( \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{g_{n}^k}{p_{n}}=0 \)

[OOOVincentOOO]

Inderdaad. Ik heb er iets langer over gedaan om dat te herkennen.

Ik ben wel nog achter iets gekomen. De gevonden formule is eigenlijk een worst case scenario en convergeert langzamer dan de echte priemgetal data.

De formules uit priemgetal driehoeken en gebalanceerde priemgetallen:

$$\varepsilon_{1}(n)=\frac{1}{2}{p}_{n-2}-p_{n}+\sqrt{-\frac{3}{4}{p}_{n-2}^{2}+{p}_{n-1}^{2}}$$
$$\varepsilon_{2}(n)=2{p}_{n-1}-{p}_{n-2}-{p}_{n}$$
$$\Delta\varepsilon(n)=\varepsilon_{1}(n)-\varepsilon_{2}(n)$$
$$\Delta\varepsilon(n)=-\frac{1}{2}{p}_{n-2}-2p_{n-1}+\sqrt{-\frac{3}{4}{p}_{n-2}^{2}+{p}_{n-1}^{2}}$$

De formule gevonden via het fitten van functies:

$$\Delta\varepsilon^\prime(n)=-\frac{3g_{(n-2)}^2}{p_{n}}$$

Het verschil tussen fit en reele data:

$$error=\Delta\varepsilon(n)-\Delta\varepsilon^\prime(n)$$

Als ik dit omschrijf tot een continue functie kom ik tot dit:

$$error=-\frac{1}{2}x-1+\frac{3}{x}+\sqrt{\frac{1}{4}x^2+x-2}$$

Hierbij kan worst case: \(-\frac{1}{2}x-1\) negatief zijn tot \(x=2\) de rest is positief zeker voor \(x>2\). Dit betekend dat de gevonden formule een grote afwijking heeft en langzamer convergeert naar 0. Dus mag ik volgens mij schrijven:

$$\Delta\varepsilon^\prime(n)=-\frac{ag_{(n-2)}^b}{p_{n}}, \ a\leq3 \land \ b\geq2$$

Maar nu gaat alles erg boven mijn pet. Eerst proberen af te schakelen. Wiskunde blijft in je hoofd spoken

[OOOVincentOOO]

Kennelijk geldt per definitie: g_n = p_n+1 - p_n . Zoek je nu een bewijs voor je limiet?

Eigenlijk wel zoek ik toch een bewijs , ik heb er een tijdje over nagedacht. De numeriek gevonden priemgetal gap limiet:

$$\lim_{n \rightarrow \infty}-\frac{3g_{n}^2}{p_{n}}=0$$

Ik heb ook nog een meer analytische methode gevonden waar dezelfde limit uit volgt. De functies \(\varepsilon_{1} \) en \(\varepsilon_{2}\) volgen uit de driehoek benadering en respectievelijk de afwijking t.o.v. een gebalanceerd priemgetal:

$$\varepsilon_{1}(n)=\frac{1}{2}{p}_{n-2}-p_{n}+\sqrt{-\frac{3}{4}{p}_{n-2}^{\:2}+{p}_{n-1}^{\:2}}$$
$$\varepsilon_{2}(n)=2{p}_{n-1}-{p}_{n-2}-{p}_{n}$$
$$\Delta\varepsilon(n)=\varepsilon_{1}(n)-\varepsilon_{2}(n)$$
$$\lim_{n \rightarrow \infty}\Delta\varepsilon(n)=0$$
$$\Delta\varepsilon(n)=1.5p-2(p+g)+\sqrt{-0.75p^{2}+(p+g)^{2}}$$

Volgens Wolfram Alpha kan de laatste geschreven worden als een serie [Wolfram]. Hier volgt dezelfde limiet uit:

$$\Delta\varepsilon(n)=-\frac{3g^{2}}{p}+\frac{12g^{3}}{p^{2}}-\frac{57g^{4}}{p^{3}}+\frac{300g^{5}}{p^{4}}-\frac{1686g^{6}}{p^{5}}+\mathcal{O}\left( \frac{1}{p^{6}}\right)$$

Alles is netjes samengevat op SE:
https://math.stackexchange.com/q/3822679/650339

Wanneer is nu iets eens bewijs? Heeft iemand enige informatie of ideeën? Dan graag enig commentaar op deze post of op SE.

Notitie: Ik post ook op SE omdat er vaak maar weinig reactie is. Ik ben dankbaar aan PP die input geeft. Het amateur gehalte is natuurlijk hoog en vele professionele wiskundigen haken dan af.