Wetenschapsforum

Wat is de analytische oplossing van de rotatiehoek θ van de functie f(x)=sin(x)/x, waarbij de grafiek nog als functie kan worden aangemerkt.
Volgens mij is dat het geval als er slechts 1 verticale raaklijn is.

Ik persoonlijk heb geen idee wat je met je vraag bedoelt.

: vertical line test.png (42.21 KiB) 2438 keer bekeken

Door rotatie van een functie f(x) om de oorsprong kan de situatie optreden dat er voor een waarde van x meerdere functiewaarden bestaan. Dit levert dus wel een grafiek op maar is geen functie! (vertical line test bovenste plaatje)
Ik vermoed dat de grens van wel een functie/geen functie ligt bij precies 1 verticale raaklijn.
De rotatieformule voor een functie f(x) in een x-y assenstelsel is:

: rotatieformule.png (2.78 KiB) 2438 keer bekeken

θ is de rotatiehoek

Lijkt me niet als ik je goed begrijp.

Zie: \(y=x^2\)

y=x² is een functie (vertical line test)
y=x² is een niet 1 op 1 functie (horizontal line test)
Er is wel een inverse van y=x² , maar dit is dus geen functie!

: inverse.png (22 KiB) 2248 keer bekeken

Je komt nu met een nieuwe eis volgen mij.

PS.
y=x² heeft geen inverse.

PS.
Men kan de functie natuurlijk wel reduceren dan is er wel een inverse.

Het gaat erom of de grafiek van de functie sin(x)/x na een bepaalde rotatie om de oorsprong nog wel een functie is.(do the vertical line test)
rotatieformule:

: rotatieformule.png (3.97 KiB) 2241 keer bekeken

op basis van een Mapleplot schat in dat een rotatie > 67° geen functie meer oplevert (bij precies 1 verticale raaklijn)
De vraag blijft staan hoe deze kritische rotatiehoek analytisch kan worden bepaald!

Lastig.

Ik zou het zoeken in een rechte snijlijn.
Elke snijlijn bepaald een maximale draai hoek.

Alternatief:
Zoek de raaklijn aan f(x) = sin(x)/x met de maximale richtingscoëfficient.
Noem de richtingshoek van die raaklijn alpha.
Dan is je maximale rotatiehoek theta =

\(\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha\)

Na rotatie over deze hoek theta staat die raaklijn precies verticaal (= parallel aan de y-as).
Ik kom zo uit op theta = 1.159492829676... rad = 66.434045516136...°

Slim gevonden zeg..

Het inflection point van sin(x)/x ligt op x=-2,08 (voor het interval -4..0)
De afgeleide cos(x)/x-sin(x)/x² heeft op dat punt de maximale richtingscoefficient tan(α)=0,43618, dus α=0,4113 rad. θ_max=π/2-α=1,159 rad= 66,43°

ukster schreef: ↑do 30 jul 2020, 19:59 vertical line test.png
Door rotatie van een functie f(x) om de oorsprong kan de situatie optreden dat er voor een waarde van x meerdere functiewaarden bestaan. Dit levert dus wel een grafiek op maar is geen functie! (vertical line test bovenste plaatje)
Ik vermoed dat de grens van wel een functie/geen functie ligt bij precies 1 verticale raaklijn.
De rotatieformule voor een functie f(x) in een x-y assenstelsel is: rotatieformule.png
θ is de rotatiehoek

Vermoed je dit voor álle functies, of specifiek deze (sin(x))/x functie? Tegenvoorbeeld: Als je alleen sin(x) neemt, en deze 45graden roteert, dan heb je oneindig veel verticale afgeleiden, maar nog steeds een functie lijkt me.

Voor alle functies.
Voor elke waarde van de onafhankelijke variabele van de 45° geroteerde sin(x) functie hoort nog steeds 1 functiewaarde.

voor θ>45° kun je volgens de definitie van de vertical line test niet meer van een functie spreken.

Ik zie echter niet hoe de laatste uitdrukking hieronder de 3 verschillende y- waarden bevat voor x=0

: 3 verschillende y waarden.png (6.63 KiB) 2067 keer bekeken

Mathematica gaat iets verder.

: complex oplossing.png (1.64 KiB) 2054 keer bekeken

Vond Maple ze niet via evalf dat zou eigenlijk wel moeten.

Wetenschapsforum

functie

functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie

Re: functie