Pagina 1 van 2

functie

Geplaatst: do 30 jul 2020, 18:27
door ukster
Wat is de analytische oplossing van de rotatiehoek θ van de functie f(x)=sin(x)/x, waarbij de grafiek nog als functie kan worden aangemerkt.
Volgens mij is dat het geval als er slechts 1 verticale raaklijn is.

Re: functie

Geplaatst: do 30 jul 2020, 19:20
door flappelap
Ik persoonlijk heb geen idee wat je met je vraag bedoelt.

Re: functie

Geplaatst: do 30 jul 2020, 19:59
door ukster
vertical line test.png
vertical line test.png (42.21 KiB) 884 keer bekeken
Door rotatie van een functie f(x) om de oorsprong kan de situatie optreden dat er voor een waarde van x meerdere functiewaarden bestaan. Dit levert dus wel een grafiek op maar is geen functie! (vertical line test bovenste plaatje)
Ik vermoed dat de grens van wel een functie/geen functie ligt bij precies 1 verticale raaklijn.
De rotatieformule voor een functie f(x) in een x-y assenstelsel is:
rotatieformule.png
rotatieformule.png (2.78 KiB) 884 keer bekeken
θ is de rotatiehoek

Re: functie

Geplaatst: vr 31 jul 2020, 10:22
door tempelier
Lijkt me niet als ik je goed begrijp.

Zie: \(y=x^2\)

Re: functie

Geplaatst: vr 31 jul 2020, 18:30
door ukster
y=x2 is een functie (vertical line test)
y=x2 is een niet 1 op 1 functie (horizontal line test)
Er is wel een inverse van y=x2 , maar dit is dus geen functie!
inverse.png
inverse.png (22 KiB) 694 keer bekeken

Re: functie

Geplaatst: vr 31 jul 2020, 18:37
door tempelier
Je komt nu met een nieuwe eis volgen mij.

PS.
y=x2 heeft geen inverse.

PS.
Men kan de functie natuurlijk wel reduceren dan is er wel een inverse.

Re: functie

Geplaatst: vr 31 jul 2020, 18:56
door ukster
Het gaat erom of de grafiek van de functie sin(x)/x na een bepaalde rotatie om de oorsprong nog wel een functie is.(do the vertical line test)
rotatieformule:
rotatieformule.png
rotatieformule.png (3.97 KiB) 687 keer bekeken
functie of niet.png
op basis van een Mapleplot schat in dat een rotatie > 67° geen functie meer oplevert (bij precies 1 verticale raaklijn)
De vraag blijft staan hoe deze kritische rotatiehoek analytisch kan worden bepaald!

Re: functie

Geplaatst: vr 31 jul 2020, 19:18
door tempelier
Lastig.

Ik zou het zoeken in een rechte snijlijn.
Elke snijlijn bepaald een maximale draai hoek.

Re: functie

Geplaatst: vr 31 jul 2020, 20:54
door RedCat
Alternatief:
Zoek de raaklijn aan f(x) = sin(x)/x met de maximale richtingscoëfficient.
Noem de richtingshoek van die raaklijn alpha.
Dan is je maximale rotatiehoek theta =
\(\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha\)
Na rotatie over deze hoek theta staat die raaklijn precies verticaal (= parallel aan de y-as).
Ik kom zo uit op theta = 1.159492829676... rad = 66.434045516136...°

Re: functie

Geplaatst: vr 31 jul 2020, 23:43
door ukster
Slim gevonden zeg.. :)
Het inflection point van sin(x)/x ligt op x=-2,08 (voor het interval -4..0)
De afgeleide cos(x)/x-sin(x)/x2 heeft op dat punt de maximale richtingscoefficient tan(α)=0,43618, dus α=0,4113 rad. θmax=π/2-α=1,159 rad= 66,43°

Re: functie

Geplaatst: za 01 aug 2020, 00:51
door CoenCo
ukster schreef:
do 30 jul 2020, 19:59
vertical line test.png
Door rotatie van een functie f(x) om de oorsprong kan de situatie optreden dat er voor een waarde van x meerdere functiewaarden bestaan. Dit levert dus wel een grafiek op maar is geen functie! (vertical line test bovenste plaatje)
Ik vermoed dat de grens van wel een functie/geen functie ligt bij precies 1 verticale raaklijn.
De rotatieformule voor een functie f(x) in een x-y assenstelsel is: rotatieformule.png
θ is de rotatiehoek
Vermoed je dit voor álle functies, of specifiek deze (sin(x))/x functie? Tegenvoorbeeld: Als je alleen sin(x) neemt, en deze 45graden roteert, dan heb je oneindig veel verticale afgeleiden, maar nog steeds een functie lijkt me.

Re: functie

Geplaatst: za 01 aug 2020, 13:31
door ukster
Voor alle functies.
Voor elke waarde van de onafhankelijke variabele van de 45° geroteerde sin(x) functie hoort nog steeds 1 functiewaarde.
rotatie van een functie.png
voor θ>45° kun je volgens de definitie van de vertical line test niet meer van een functie spreken.

Re: functie

Geplaatst: za 01 aug 2020, 13:55
door ukster
Ik zie echter niet hoe de laatste uitdrukking hieronder de 3 verschillende y- waarden bevat voor x=0
3 verschillende y waarden.png
3 verschillende y waarden.png (6.63 KiB) 513 keer bekeken

Re: functie

Geplaatst: za 01 aug 2020, 14:22
door ukster
Mathematica gaat iets verder.
y waarden voor x=0.png
complex oplossing.png
complex oplossing.png (1.64 KiB) 500 keer bekeken

Re: functie

Geplaatst: za 01 aug 2020, 15:32
door tempelier
Vond Maple ze niet via evalf dat zou eigenlijk wel moeten.