omtrek

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

omtrek

Minimale omtrek ΔABC?
Omtrek.png
Omtrek.png (7.03 KiB) 1013 keer bekeken
ik vind: a2=b(b+c) , a=2bcosβ en 0<β<π/6
Mag ervan worden uitgegaan dat ggd(a,b,c)=1?

Berichten: 181

Re: omtrek

Ja.
Als ggd(a,b,c) = d > 1, dan kan je de lengte van elke zijde door d delen, waardoor ook de omtrek een factor d kleiner wordt.
De hoeken blijven bij deze deling ongewijzigd.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.257

Re: omtrek

Ik heb een doodlopend spoor bewandeld.

Ik heb c=1 genomen.
Een geëist dat b en c echte positieve breuken zijn.

Trekt men de hoogtelijn dan volgt uit de driehoeksongelijkheid dat hoe kleiner de hoogtelijn hoe kleiner de omtrek.
Hiervoor is nodig dat de sinussen van de hoeken ook rationeel zijn.
Het lukte me echter niet hier een kleinste waarde voor te vinden.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: omtrek

Voorwaarde:
pos integers.png
pos integers.png (1015 Bytes) 835 keer bekeken
Dus positieve integers

Gebruikersavatar
Berichten: 3.257

Re: omtrek

Dat weet ik.

Maar ik wilde daarna de zaak opblazen met een factor om daar aan te voldoen.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: omtrek

Aha..

Voortbouwend op a2=b(b+c) , a=2bcosβ , 0<β<π/6 en ggd(a,b,c,)=1 kan gesteld worden dat ook ggd(b,c)=1 omdat een gemeenschappelijke factor in b en c ook de gemeenschappelijke factor is van a.
Het vierkant a2 wordt uitgedrukt als een product van twee priem integers b en c
a2=b(b+c), derhalve moeten b en (b+c) ook vierkanten zijn.
Twee integers m en n met ggd(m,n)=1 hierop toegepast:
vierkant.png
vierkant.png (4.53 KiB) 814 keer bekeken
hieruit volgt: b=m2, b+c=n2, a=mn
De minimale omtrek van de driehoek kan nu bepaald worden.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: omtrek

Uiteraard is n>m
vierkant.png
vierkant.png (4.58 KiB) 801 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: omtrek

integers.png
integers.png (3.12 KiB) 747 keer bekeken
De (kleinste) integer waarde van (m,n) die hieraan voldoet is: (4,7)
Hieruit volgt: b=16 a=28 c=33
Minimale omtrek: a+b+c = 77

Berichten: 181

Re: omtrek

Mooie uitwerking!

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: omtrek

Gegeven de twee punten A(−2,0) en B(1,5)
Wat zijn de coördinaten van punt P op de lijn x-2y=6 zodat de omtrek van driehoek ABP minimaal is.
P(26/23,-56/23)??

Berichten: 181

Re: omtrek

Kom ik ook op uit: stel
\(P = (2\lambda + 6, \lambda)\)
en minimaliseer daarmee (|AP| + |BP|) door de afgeleide hiervan naar lambda nul te stellen.
Dit levert
\(805\lambda^2+6560\lambda+11200 = 0\)
\(\Rightarrow \lambda = \frac{-56}{23}\)
(de tweede oplossing vervalt: dat is een valse oplossing door kwadrateren onderweg).

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: omtrek

Mooi.. :D
minimale omtrek.png
minimale omtrek.png (6.3 KiB) 562 keer bekeken

Berichten: 181

Re: omtrek

Meetkundige oplossing:
A = (-2, 0)
B = (1, 5)
l: y = (1/2)*x - 3
definieer A' = spiegelbeeld van A in lijn l:
- loodlijn op l door A: m: y = -2x - 4
- beeldpunt van A: A' = (6/5, -32/5)
noem k = de lijn door A' en B:
k: y = -57x + 62
Dan is P het snijpunt van lijnen l en k:
P = (26/23, -56/23)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: omtrek

Een (nogal bewerkelijke) meetkundige oplossing op basis van de evenwijdige lijnen k: en l:
lijn m: en de normaallijn n:
attachment=0]meetkundige oplossing minimale omtrek.png[/attachment]
Bijlagen
meetkundige oplossing minimale omtrek.png

Reageer