Pagina 1 van 1
reeks
Geplaatst: vr 14 aug 2020, 15:01
door ukster
Voor welke waarde(n) van a is de gegeneraliseerde fibonaccireeks (x0=1, x1= a) ook een meetkundige reeks. Wat is de som van zo'n oneindige reeks indien deze convergeert.
Re: reeks
Geplaatst: vr 14 aug 2020, 19:00
door RedCat
De Fibonacci rij heeft de algemene vorm:
\(x_n = c_1\varphi^n + c_2 \psi^n\)
met
\(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
en
\(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
(zie bv.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci ... expression)
Met x0 = 1 en x1 = a herleiden we:
\(x_0 = c_1\varphi^0 + c_2 \psi^0 \)
\(x_1 = c_1\varphi^1 + c_2 \psi^1 \)
tot:
\(1 = c_1 + c_2\)
\(a = c_1\varphi + c_2\psi\)
Bepaal uit dit stelsel de constanten c1 en c2.
Je hebt nu een gesloten vorm voor de rij x[n].
Om deze rij de vorm
\(c \cdot r^n\)
te geven moet c1 of c2 nul worden.
Voor welke waarde(n) van a gebeurt dit?
Re: reeks
Geplaatst: vr 14 aug 2020, 19:16
door ukster
dus a=(1±√5)/2
reekssom=(√5-1)/2
Re: reeks
Geplaatst: vr 14 aug 2020, 19:35
door ukster
ik dacht simpelweg..
- reeksen.png (3.68 KiB) 1826 keer bekeken
Re: reeks
Geplaatst: vr 14 aug 2020, 20:57
door RedCat
De voorwaarde
\(a^2 = a + 1\)
is noodzakelijk maar nog niet voldoende.
Daarna moeten we nog wel bewijzen dat dan ook geldt:
\(a^3 = 2a+1\)
\(a^4 = 3a + 2\)
\(a^5 = 5a + 3\)
etc.
Re: reeks
Geplaatst: vr 14 aug 2020, 21:19
door ukster
Ja, er komen dan allerlei nulpunten bij (zelfs complex)
maar (1±√5)/2 hebben ze gemeenschappelijk
Re: reeks
Geplaatst: vr 14 aug 2020, 22:26
door RedCat
Dit bewijs loopt het handigst via volledige inductie (we kunnen immers niet alle polynomen voor n = 3 tot oneindig controleren).
Definieer F = de rij van Fibonacci met F[0] = 0 en F[1] = 1
We moeten aantonen voor n >= 2:
\(a^n = F_n \cdot a + F_{n-1} \)
Basis:
\(a^2 = F_2 \cdot a + F_1 = 1 \cdot a + 1 = a +1\)
Inductiehypothese
Stel voor n geldt:
\(a^n = F_n \cdot a + F_{n-1} \)
Inductie
dan geldt voor n+1:
\(a^{n+1}\)
\(= a\cdot a^n\)
\(= a \cdot (F_n \cdot a + F_{n-1} )\)
\(=\;...\)
en voltooi dit bewijs.
Lukt dat?
Re: reeks
Geplaatst: vr 14 aug 2020, 22:50
door ukster
Daar noem je wat..
Lang lang geleden...heb ik de essentie ervan redelijk begrepen herinner ik mij.
Deze kennis opfrissen lijkt me nu een Pré!
