reeks
-
- Berichten: 463
Re: reeks
De Fibonacci rij heeft de algemene vorm:
Met x0 = 1 en x1 = a herleiden we:
Je hebt nu een gesloten vorm voor de rij x[n].
Om deze rij de vorm
Voor welke waarde(n) van a gebeurt dit?
\(x_n = c_1\varphi^n + c_2 \psi^n\)
met
\(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
en
\(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
(zie bv. https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci ... expression)Met x0 = 1 en x1 = a herleiden we:
\(x_0 = c_1\varphi^0 + c_2 \psi^0 \)
\(x_1 = c_1\varphi^1 + c_2 \psi^1 \)
tot:
\(1 = c_1 + c_2\)
\(a = c_1\varphi + c_2\psi\)
Bepaal uit dit stelsel de constanten c1 en c2.Je hebt nu een gesloten vorm voor de rij x[n].
Om deze rij de vorm
\(c \cdot r^n\)
te geven moet c1 of c2 nul worden.Voor welke waarde(n) van a gebeurt dit?
-
- Berichten: 463
Re: reeks
Dit bewijs loopt het handigst via volledige inductie (we kunnen immers niet alle polynomen voor n = 3 tot oneindig controleren).
Definieer F = de rij van Fibonacci met F[0] = 0 en F[1] = 1
We moeten aantonen voor n >= 2:
Stel voor n geldt:
dan geldt voor n+1:
Lukt dat?
Definieer F = de rij van Fibonacci met F[0] = 0 en F[1] = 1
We moeten aantonen voor n >= 2:
\(a^n = F_n \cdot a + F_{n-1} \)
Basis:
\(a^2 = F_2 \cdot a + F_1 = 1 \cdot a + 1 = a +1\)
InductiehypotheseStel voor n geldt:
\(a^n = F_n \cdot a + F_{n-1} \)
Inductiedan geldt voor n+1:
\(a^{n+1}\)
\(= a\cdot a^n\)
\(= a \cdot (F_n \cdot a + F_{n-1} )\)
\(=\;...\)
en voltooi dit bewijs.Lukt dat?