reeks

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

reeks

Voor welke waarde(n) van a is de gegeneraliseerde fibonaccireeks (x0=1, x1= a) ook een meetkundige reeks. Wat is de som van zo'n oneindige reeks indien deze convergeert.

Berichten: 176

Re: reeks

De Fibonacci rij heeft de algemene vorm:
\(x_n = c_1\varphi^n + c_2 \psi^n\)
met
\(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
en
\(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
(zie bv. https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci ... expression)

Met x0 = 1 en x1 = a herleiden we:
\(x_0 = c_1\varphi^0 + c_2 \psi^0 \)
\(x_1 = c_1\varphi^1 + c_2 \psi^1 \)
tot:
\(1 = c_1 + c_2\)
\(a = c_1\varphi + c_2\psi\)
Bepaal uit dit stelsel de constanten c1 en c2.
Je hebt nu een gesloten vorm voor de rij x[n].

Om deze rij de vorm
\(c \cdot r^n\)
te geven moet c1 of c2 nul worden.
Voor welke waarde(n) van a gebeurt dit?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: reeks

dus a=(1±√5)/2
reekssom=(√5-1)/2

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: reeks

ik dacht simpelweg..
reeksen.png
reeksen.png (3.68 KiB) 722 keer bekeken

Berichten: 176

Re: reeks

De voorwaarde
\(a^2 = a + 1\)
is noodzakelijk maar nog niet voldoende.
Daarna moeten we nog wel bewijzen dat dan ook geldt:
\(a^3 = 2a+1\)
\(a^4 = 3a + 2\)
\(a^5 = 5a + 3\)
etc.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: reeks

Ja, er komen dan allerlei nulpunten bij (zelfs complex)
maar (1±√5)/2 hebben ze gemeenschappelijk

Berichten: 176

Re: reeks

Dit bewijs loopt het handigst via volledige inductie (we kunnen immers niet alle polynomen voor n = 3 tot oneindig controleren).
Definieer F = de rij van Fibonacci met F[0] = 0 en F[1] = 1
We moeten aantonen voor n >= 2:
\(a^n = F_n \cdot a + F_{n-1} \)
Basis:
\(a^2 = F_2 \cdot a + F_1 = 1 \cdot a + 1 = a +1\)
Inductiehypothese
Stel voor n geldt:
\(a^n = F_n \cdot a + F_{n-1} \)
Inductie
dan geldt voor n+1:
\(a^{n+1}\)
\(= a\cdot a^n\)
\(= a \cdot (F_n \cdot a + F_{n-1} )\)
\(=\;...\)
en voltooi dit bewijs.
Lukt dat?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: reeks

Daar noem je wat..
Lang lang geleden...heb ik de essentie ervan redelijk begrepen herinner ik mij.
Bewijs met volledige inductie.pdf
(101.83 KiB) 70 keer gedownload
Deze kennis opfrissen lijkt me nu een Pré!

Reageer