limiet berekenen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.817

limiet berekenen

Geachte forum gebruikers,
Deze limiet kan worden berekent met ,L Hopital
\(\lim_{x \to 2} \frac{x^{4}-3x^{2}-4}{x^{3}+x^{2} -12} \)
het antwoord zou moeten zijn 5/4
maar als ik geen kennis heb van de regel van ,L Hopital, kan dan deze limiet ook op een andere manier berekent worden??

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Berichten: 232

Re: limiet berekenen

Als teller en noemer beide nul opleveren voor x=2,
dan kan je (x-2) uit teller en noemer delen:

\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^{4}-3x^{2}-4}{x^{3}+x^{2} -12} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^3 + 2x^2 + x + 2)}{(x-2)(x^2 + 3x + 6)}\)
\(\displaystyle = \lim_{x \to 2}\frac{x-2}{x-2} \cdot \lim_{x \to 2} \frac{x^3 + 2x^2 + x + 2}{x^2 + 3x + 6} = \; ...\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.817

Re: limiet berekenen

Geachte RedCat,
Bedankt voor je antwoord.
Maar mag ik vragen hoe je gezien hebt dat je de teller en de noemer kan delen door (x-2)

Berichten: 232

Re: limiet berekenen

Gegeven:

\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^{4}-3x^{2}-4}{x^{3}+x^{2} -12}\)

Als we deze limiet proberen uit te rekenen door x gelijk aan 2 te maken, dan krijgen we

\(\frac{2^4-3\cdot 2^2-4}{2^3+2^2 -12} = \frac{0}{0}\)

Maar dat betekent dat x=2 een oplossing is van x^4 - 3x^2 - 4 = 0,
en dat (x-2) een factor is van de veelterm x^4 - 3x^2 - 4.
Deze veelterm kunnen we daarom schrijven in de vorm (x-2)(ax^3+bx^2+cx+d)
voor te bepalen constanten a, b, c en d.

Soortgelijk voor de veelterm in de noemer.

Bovenstaande is een directe toepassing van de Hoofdstelling van de algebra,
zie bijvoorbeeld https://nl.wikipedia.org/wiki/Hoofdstel ... de_algebra

Reageer