eerste afgeleide van y=sin(x)

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.847

eerste afgeleide van y=sin(x)

Geachte forumleden,
Vroeger wist ik dit wel. Maar ik begrijp er op dit moment niets meer van.
De functie y=sin(x)

De eerste afgeleide is dy/dx=Sin(x+delta x) - Sin(x)
En dit gedeeld door delta x voor de limiet van delta x naar nul.
Ik begrijp er helemaal niets meer van.
Het boek wat ik heb is van drs. L. van der Linde met de titel:
Eenvoudige hogere wiskunde gericht op de toepassing.
Maar ik zie het niet.
Wil iemand mij a.u.b. helpen.
Bij voorbaat enorm vriendelijk bedankt.
Aad

Gebruikersavatar
Berichten: 790

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

Je moet hem nog delen door δ
Dat is de definitie. { f(x+δ) - f(x) } / δ

Dan komt je op de vorm 0/0 uit, maar dat is toch op te lossen door goniometrische identiteiten toe te passen, dat is wel even puzzelen.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.484

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

\(\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}
= \frac{2 \cos(x+\frac{h}{2}) \sin \frac{h}{2}}{h}
= \frac{\cos(x+\frac{h}{2}) \sin \frac{h}{2}} {\frac{h}{2}}
= \cos(x+\frac{h}{2}) \frac{\sin \frac{h}{2}} {\frac{h}{2}}\)

\( \lim_{h \to 0}{ \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} }

= \lim_{h \to 0}{ \cos(x+\frac{h}{2}) \frac{\sin \frac{h}{2}} {\frac{h}{2}}} = \cos x\)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.016

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

eigenlijk kun je het al zien aan het differentiequotient voor kleine Δx
Differentiecoefficient.png
Differentiecoefficient.png (13.03 KiB) 1279 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 707

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

Via een Taylor series is ook erg mooi:

$$sin(x)= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} $$
$$\frac{d(sin(x))}{dx}=1 - \frac{3x^2}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{5x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}$$
$$\frac{d(sin(x))}{dx}=1 - \frac{x^2}{1 \cdot 2} + \frac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}$$
$$\frac{d(sin(x))}{dx}=1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}=cos(x)$$

Gebruikersavatar
Berichten: 6.046

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

Voor een net bewijs moet het onderstaande nog bewezen worden:

\( \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(h)} {h} = 1 \)

Ik heb daar ooit in een schoolboek een meetkundig bewijs met een tekeningetje voor gezien.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.016

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

OOOVincentOOO schreef: wo 27 jan 2021, 20:11 Via een Taylor series is ook erg mooi:
Taylor reeks.png
Taylor reeks.png (7.83 KiB) 1244 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 707

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

@ukster,

Wat bedoel je? lim sin(x)/x, x->0 is mij duidelijk.

Waarom neem je Taylor series daar? Wat is de relatie met mijn post?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.016

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

meer een reactie op PP
ik vermoed dat PP doelt op een bewijs via inklemming

Gebruikersavatar
Berichten: 6.046

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

Eigenlijk is de openingspost onvolledig. Hoe is de sinus daar gedefinieerd? Zolang we dat niet weten weten we ook niet waar we vanuit mogen gaan. Is de Taylor-reeks van de sinus zelf soms de definitie? Zo nee - dan zou je die reeks eerst ook nog moeten bewijzen.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 5.847

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

Laat ik beginnen met te zeggen dat ik een ieder die heeft gereageerd heel hartelijk wil bedanken.
Professor Puntje het bewijs van de limiet van sinus x gedeeld door x voor x nadert tot nul kan ik wel aantonen met een mooie tekening
Nogmaals vriendelijk dank voor alle hulp.

Gebruikersavatar
Berichten: 707

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

Waarom zou je een Tayler series niet mogen gebruiken? Dat is eigenlijk een goede vraag!

Daar de Taylor series gebruik maakt van het begrip afgeleide is het niet de beste keuze.

Echter toont het goed aan dat de wiskunde klopt en niet verkeerd is.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.016

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

Mee eens. taylorreeks +differentieren is een hele mooie oplossing mocht je geen kennis hebben van goniometrische identiteiten. De goniometrische identiteit biedt een mooie oplossing als kennis van reeksontwikkelng en differentieren ontbreekt,vooropgesteld dat je weet wat een differentiequotient is!

Gebruikersavatar
Berichten: 6.046

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

De Taylor-reeks mag in een bewijs van de afgeleide van de sinus alleen gebruikt worden als de sinus via die reeks gedefinieerd is. Is dat niet het geval, dan zul die reeks voor de sinus eerst moeten afleiden. En daarvoor moet je afgeleiden van de sinus weten. Dat geeft dan een vicieuze cirkel, en geen geldig bewijs.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.556

Re: eerste afgeleide van y=sin(x)

aadkr schreef: wo 27 jan 2021, 16:57 Geachte forumleden,
Vroeger wist ik dit wel. Maar ik begrijp er op dit moment niets meer van.
De functie y=sin(x)

De eerste afgeleide is dy/dx=Sin(x+delta x) - Sin(x)
En dit gedeeld door delta x voor de limiet van delta x naar nul.
Ik begrijp er helemaal niets meer van.
Het boek wat ik heb is van drs. L. van der Linde met de titel:
Eenvoudige hogere wiskunde gericht op de toepassing.
Maar ik zie het niet.
Wil iemand mij a.u.b. helpen.
Bij voorbaat enorm vriendelijk bedankt.
Aad
Even voor de goede orde.
sin(x) en Sin(x) zijn verschillende functies.

Je vorm is niet goed je mengt een differentie vorm met een differentiaal vorm.
Dit is de differentie vorm.

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\sin(x+\Delta x ) -\sin x} {\Delta x} $$

Reageer