polynoom

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.133

polynoom

Van welke 5e orde polynoom p(x) is p(x)+1 deelbaar door (x−1)3 en is p(x)−1 deelbaar door (x+1)3

Vraag: Als (x−1)3 de deler is van p(x)+1, is (x−1)3 dan ook de deler van p(-x) -1 ?

Zo ja, dan zijn ook (x-1)3 , (x+1)3 , (x-1)3 (x+1)3 delers van de som p(x)+p(-x)

Berichten: 264

Re: polynoom

ukster schreef: zo 21 feb 2021, 20:52 Van welke 5e orde polynoom p(x) is p(x)+1 deelbaar door (x−1)3 en is p(x)−1 deelbaar door (x+1)3
We kunnen dus schrijven als:
\(p(x) = (ax^2+bx+c)(x-1)^3-1\)
en als
\(p(x) = (dx^2+ex+f)(x+1)^3+1\)
Stel hiervan de coefficienten van gelijke machten gelijk, en los a, b en c op.

ukster schreef: zo 21 feb 2021, 20:52 Vraag: Als (x−1)3 de deler is van p(x)+1, is (x−1)3 dan ook de deler van p(-x) -1 ?
Stel p(x) = (x-1)^3 - 1 = x^3 - 3*x^2 + 3*x - 2
dan is p(x)+1 = (x-1)^3 deelbaar door (x-1)^3 (triviaal).
Hoe ziet p(-x) er in dit geval uit?
Is p(-x)-1 deelbaar door (x-1)^3 ?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.133

Re: polynoom

RedCat schreef: ma 22 feb 2021, 11:30 We kunnen dus schrijven als:
\(p(x) = (ax^2+bx+c)(x-1)^3-1\)
en als
\(p(x) = (dx^2+ex+f)(x+1)^3+1\)
Stel hiervan de coefficienten van gelijke machten gelijk, en los a, b en c op.
coefficienten.png
coefficienten.png (5.5 KiB) 1109 keer bekeken
ukster schreef: zo 21 feb 2021, 20:52 Vraag: Als (x−1)3 de deler is van p(x)+1, is (x−1)3 dan ook de deler van p(-x) -1 ?
Stel p(x) = (x-1)^3 - 1 = x^3 - 3*x^2 + 3*x - 2
dan is p(x)+1 = (x-1)^3 deelbaar door (x-1)^3 (triviaal).
Hoe ziet p(-x) er in dit geval uit?
Is p(-x)-1 deelbaar door (x-1)^3 ?
5e orde polynoom.png
5e orde polynoom.png (8.19 KiB) 1109 keer bekeken
p(-x)-1 is niet deelbaar door (x-1)3

Gebruikersavatar
Berichten: 3.704

Re: polynoom

Ik vond deze als enige oplossing volgens methode RedCat:

$$ P=\frac{-3}{8} x^5 +\frac{5}{4} x^3 + \frac{-15}{8} $$

Berichten: 264

Re: polynoom

tempelier schreef: ma 22 feb 2021, 15:04 Ik vond ...
Laatste x weggevallen. Typo??
Ik kwam uit op:
\(p(x)=\frac{-3}{8} x^5 +\frac{5}{4} x^3 + \frac{-15}{8}x\)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.704

Re: polynoom

RedCat schreef: ma 22 feb 2021, 16:40
tempelier schreef: ma 22 feb 2021, 15:04 Ik vond ...
Laatste x weggevallen. Typo??
Ik kwam uit op:
\(p(x)=\frac{-3}{8} x^5 +\frac{5}{4} x^3 + \frac{-15}{8}x\)
Ik schaam me diep. :oops:

Berichten: 264

Re: polynoom

ukster schreef: ma 22 feb 2021, 14:12
\(p(x) = \left(\frac{2}{13}x^2+\frac{5}{13}x\right)(x-1)^3-1\)
Jouw p(x)+1 is deelbaar door (x-1)^3, maar je p(x)-1 is niet deelbaar door (x+1)^3...

Werk p(x) uit voor zowel
\(p(x) = (ax^2+bx+c)(x-1)^3-1\)
als voor
\(p(x) = (dx^2+ex+f)(x+1)^3+1\)

De coefficient van x^5 in de eerste vergelijking is a,
De coefficient van x^5 in de tweede vergelijking is d,
dus d = a.

Vervolgens kan je vrij eenvoudig e uitdrukken in a en b, en f in c
De coefficienten in de overige termen zijn dan om te zetten in een stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden (a, b en c).

Gebruikersavatar
Berichten: 3.133

Re: polynoom

RedCat schreef: ma 22 feb 2021, 17:06 De coefficient van x^5 in de eerste vergelijking is a,
De coefficient van x^5 in de tweede vergelijking is d,
dus d = a.
Vervolgens kan je vrij eenvoudig e uitdrukken in a en b, en f in c
De coefficienten in de overige termen zijn dan om te zetten in een stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden (a, b en c).
Beetje laat.. :) Dank voor de heldere uitleg!

Reageer