getalreeks

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.133

getalreeks

De getalreeks a0,a1,a2,…..is gedefinieerd met: a0=4/3 en an+1=3(5-7an)/(2(10an+17)) voor n≥0
Wat is de formule voor an in termen van n ?

Door berekening van de reekstermen tot a12 lijken de termen te convergeren naar 1/4
Bovendien is x =1/4 een oplossing van de vergelijking 3(5-7x))/(2(10x+17))=x
Mag je nu stellen dat de convergentie van de reekstermen naar ¼ geen verrassing is?

Berichten: 264

Re: getalreeks

Herschrijf je breuk in de vorm:
\(a_n = \frac{P\cdot a_{n-1}+Q}{a_{n-1}+R} = P + \frac{Q-PR}{a_{n-1}+R}\)
met P, Q en R constanten
Tel links en rechts R op:
\(a_n + R = P + R + \frac{Q-PR}{a_{n-1}+R}\)
definieer
\(b_n = a_n + R\)
en we krijgen:
\(b_n = P + R + \frac{Q-PR}{b_{n-1}}\)
definieer dan de rij (dn):
\((d_n) = \left\{\begin{array}{l}d_{-1}=1\\ d_n=b_n\cdot d_{n-1} \;\; \text{voor} \;\; n\ge 0\end{array}\right.\)
dan is
\(b_n = \frac{d_n}{d_{n-1}}\)
waardoor
\(\frac{d_n}{d_{n-1}} = P + R + \frac{Q-PR}{d_{n-1}/d_{n-2}}\)
ofwel
\(d_n = (P + R)d_{n-1} + (Q-PR)d_{n-2}\)
los deze recursieve relatie op (gebruik daarbij dat d-1 = 1 en d0 = b0 = a0+R).
Dit levert tenslotte
\(a_n = b_n - R = \frac{d_n}{d_{n-1}} - R\)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.133

Re: getalreeks

vraagje:
Had an=(15-21an-1))/(20an-1+34) ook een mogelijk uitgangspunt kunnen zijn vanwege het
gegeven an+1=(15-21an)/(20an+34) ?

Ik heb hier een uitwerking die min of meer vergelijkbaar is met jouw aanpak met als uitgangspunten:
* Reekstermenconvergentie naar ¼.
* Substitutie (1,2,3).
* Toepassing van de meetkundige rijeigenschap (4)
* 3x backsubstitutie
reekstermvergelijking.png

Berichten: 264

Re: getalreeks

ukster schreef: zo 28 feb 2021, 15:59 vraagje:
Had an=(15-21an-1))/(20an-1+34) ook een mogelijk uitgangspunt kunnen zijn vanwege het gegeven
an+1=(15-21an)/(20an+34) ?
Beide definities zijn gelijkwaardig.
Ik bereken elke an uit zijn gegeven (= gekende) voorganger an-1,
jij berekent uit elke gegeven (=gekende) an zijn opvolger an+1.
De relaties tussen elk element van de rij en elk volgend element van de rij zijn identiek.

ukster schreef: zo 28 feb 2021, 15:59 Ik heb hier een uitwerking die min of meer vergelijkbaar is met jouw aanpak met als uitgangspunten...
Mooie uitwerking.

Heb je ook een snelle manier om de constante van de substitutie
\(b_n = a_n - \frac{1}{4} \)
te bepalen ??

Als
\(a_n = \frac{P\cdot a_{n-1}+Q}{S\cdot a_{n-1}+R}\)
en
\(a_n = b_n + K\)
vind ik uiteindelijk
\(b_n = \frac{(P-KS)\cdot b_{n-1}-SK^2+(P-R)K + Q}{S\cdot b_{n-1}+SK+R}\)
Als we de constante in de teller nul willen krijgen, moet
\(-SK^2+(P-R)K + Q = 0\)
zijn.
In bovenstaand voorbeeld (= met jouw getallen) geeft dit:
\(K=\frac{1}{4} \vee K=-3.\)
Met beide waarden kunnen we via jouw methode verder werken naar de eindoplossing.

Maar zijn deze waarden voor K ook eleganter, dus met wat minder brute kracht te vinden ??

Gebruikersavatar
Berichten: 3.133

Re: getalreeks

x=1/4 en x= -3 zijn de oplossing van de vergelijking 3(5-7x)/(2(10+17x))=x
Door berekening van enkele reekstermen (tot a15) ,uitgaande van a0 en de formule van an+1 bespeur ik een convergentietrend naar ¼. ( toegepast in de substitutie bn = an -1/4)
Zoals je ziet convergeren de uiteindelijk gevonden reekstermen (an) inderdaad naar ¼ !
convergentie.png
convergentie.png (10.32 KiB) 2027 keer bekeken

Berichten: 264

Re: getalreeks

ukster schreef: wo 03 mar 2021, 15:05 x=1/4 en x= -3 zijn de oplossing van de vergelijking 3(5-7x)/(2(10x+17))=x
Mooi en logisch, bedankt!
En oeps... ik had je eerste post beter moeten bekijken.

ukster schreef: wo 03 mar 2021, 15:05 Door berekening van enkele reekstermen (tot a15) ,uitgaande van a0 en de formule van an+1 bespeur ik een convergentietrend naar ¼. ( toegepast in de substitutie bn = an -1/4)
Zoals je ziet convergeren de uiteindelijk gevonden reekstermen (an) inderdaad naar ¼ !
Doorrekenend met symbolen:
\(b_n=\frac{(P-SK)b_{n-1}}{Sb_{n-1}+R+SK}; \;\; \text{met} \;\; b_0 = a_0 - K\)
Voor a0 = K geldt b0 = 0, waardoor ook de hele rij bn = 0 wordt.
En omdat a = b + K, is in dit geval de hele rij an = K.
Dit geldt dus zowel voor K=1/4 als K=-3.

Omgekeerd kan bn alleen nul worden als bn-1 dat ook is, want uit bovenstaande volgt:
\(b_{n-1}=\frac{(R+SK)b_n}{P-SK -Sb_n}\)


Als a0 ≠ K kom ik uit op:
\(a_n = \frac{1}{ \alpha\left(\frac{R+SK}{P-SK}\right)^n + \frac{S}{P-R-2SK} } + K\)
waarbij
\(\alpha = \frac{1}{a_0-K}-\frac{S}{P-R-2SK}\)

In ons voorbeeld voor K = 1/4 :
\(a_n = \frac{1}{ \frac{16}{13}\cdot \left(\frac{39}{-26}\right)^n + \frac{-4}{13} } + \frac{1}{4}\)
Voor n naar oneindig gaat dit naar 1/4

En voor K = -3 :
\(a_n = \frac{1}{ \frac{-1}{13}\cdot \left(\frac{-26}{39}\right)^n + \frac{4}{13} } -3\)
Voor n naar oneindig gaat ook dit naar 1/4:
\(a_\infty = \frac{1}{ \frac{-1}{13}\cdot 0 + \frac{4}{13} } -3 = \frac{1}{4}\)

Dus voor beide waarden van K (K = 1/4 en K = -3) convergeert an naar 1/4

Gebruikersavatar
Berichten: 3.133

Re: getalreeks

Top! Mooi gevonden.. :P
reekstermformule.png
reekstermformule.png (15.97 KiB) 1480 keer bekeken
Alle expressies even gecheckt!
a8=7329/25988 ≈ 0.28201
a30 =205894353320121/823563454636772 ≈ 0.2500042373

Dank voor je belangstelling en efficiënte inzet. ;)

Reageer