Heeft die vergelijking oplossingen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 387

Heeft die vergelijking oplossingen

Heeft de vergelijking 7a+12b+6c =+1 geheeltallige oplossingen met de voorwaarde dat de absolute waarde van a kleiner is dan
b, en die van b kleiner dan c ?
Zo ja, welke ?

Vincent !

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.904

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

a=1
b=-2
c=3
is een van de vele oplossingen.

Berichten: 3.867

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

Human schreef: za 13 mar 2021, 21:35 Heeft de vergelijking 7a+12b+6c =+1 geheeltallige oplossingen met de voorwaarde dat de absolute waarde van a kleiner is dan
b, en die van b kleiner dan c ?
Zo ja, welke ?

Vincent !
volgens mij kun je deze vergelijking zien als een vlak in 3d ruimte. dus als je dat begrenst door een verband tussen a en b of b en c dan houdt je een gedeelte van dat vlak over. Je kunt het eigenlijk zo in 3d voorstellen.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.518

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

integers.png
integers.png (3.41 KiB) 2414 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 4.312

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

Human schreef: za 13 mar 2021, 21:35 Heeft de vergelijking 7a+12b+6c =+1 geheeltallige oplossingen met de voorwaarde dat de absolute waarde van a kleiner is dan
b, en die van b kleiner dan c ?
Zo ja, welke ?

Vincent !
het is een liniaire Diophantische Vergelijking met 3-variabelen.

Ik heb gezocht waar dit type netjes werd behandeld maar kon het niet vinden.
(Puntjes kan veel beter op het net zoeken dan ik dus misschien dat hij iets vind)

Van twee variabelen is er zat te vinden.
Misschien heb je hier nog iets aan, het gaat over twee variabelen maar er is een korte generalisatie bij gegeven.


https://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_ ... %C3%A9zout


Berichten: 387

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

Mooi, bedankt voor de hulp !

Berichten: 387

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

@Ukster,

Hoe geraakt U aan die batch oplossingen ?
Zijn er oneindig veel oplossingen ?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.518

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

https://www.wolframalpha.com/input/?i=7 ... abs%28c%29
klik 'more solutions' onder 'integer solutions'
Dat zijn alle oplossingen neem ik aan...

Gebruikersavatar
Berichten: 209

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

a=1,b=-7,c=13
a=7, b=-11,c=14
a=1, b=-8, c=15
Ik denk dat wolfram er na een paar de brui aangeeft. Ik vermoed dat er oneindig veel oplossingen zijn.
Er lijkt een patroon in te zitten: als c oneven is, is a=1.

Gebruikersavatar
Berichten: 209

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

Ok dat laatste is heel eenvoudig in te zien. Er zijn dus oneindig veel oplossingen.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.312

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

Er zijn oneindig veel oplossingen, dat kan gemakkelijk meetkundig worden gevonden.

Maar hoe luidt de volledige oplossing?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.518

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

a=7
b=4
c=-16

a=19
b=35
c=-92

en nog oneindig veel meer

volgt uit:
a=6n+1
c= -2b -7n - 1
n is element van Z

Gebruikersavatar
Berichten: 209

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

tempelier schreef: wo 17 mar 2021, 16:11 Er zijn oneindig veel oplossingen, dat kan gemakkelijk meetkundig worden gevonden.

Maar hoe luidt de volledige oplossing?
Hoe kan je dat gemakkelijk meetkundig inzien?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.312

Re: Heeft die vergelijking oplossingen

Neem eerst het geval met twee onbekenden om de gedacht te bepalen.

Teken in een assenstelsel de lijn ax + by = c
Doe dit zo dat deze lijn door twee punten P en Q gaat waarvan de coördinaten geheel zijn.
Dit zijn dan Diofhantische oplossingen van de vergelijking ax + by = c
Uit congruentie kun je zien dat er dan op die lijn bij herhaling dit soort oplossingen optreden.

Zoiets is ook mogelijk met drie onbekenden door met het vlak ax + by + cy = d te werken.
Men verschuift dan als het ware het oplossingstriple langs een zijde van de bijbehorende driehoek.

Reageer