recursieve rij
- Berichten: 4.536
recursieve rij
an = 3an-1 - 7an-2
a0=2, a1= -3 Klopt het dat de algemene reeksterm an een complexe uitdrukking is welke reële reekstermen geeft?
a0=2, a1= -3 Klopt het dat de algemene reeksterm an een complexe uitdrukking is welke reële reekstermen geeft?
- Moderator
- Berichten: 9.940
Re: recursieve rij
Ik zie geen complexe waardes ontstaan.
an=(3an+1-an+2)/7
n an
-3 -0,069970845
-2 0,265306122
-1 1,285714286
0 2
1 -3
2 -23
3 -48
4 17
Dat geeft voor het product 2687,683397
an=(3an+1-an+2)/7
n an
-3 -0,069970845
-2 0,265306122
-1 1,285714286
0 2
1 -3
2 -23
3 -48
4 17
Dat geeft voor het product 2687,683397
- Berichten: 4.536
Re: recursieve rij
Die is er wel...
Ik heb deze methode toegepast om de expressie voor a(n) te vinden waarmee elke reeksterm snel berekend kan worden, wat in sommige gevallen misschien handig zou kunnen zijn. a50=2,75.1021
a-30=7,0586.10-13
ik neem aan dat jij deze recursie numeriek in python hebt opgelost?
Ik heb deze methode toegepast om de expressie voor a(n) te vinden waarmee elke reeksterm snel berekend kan worden, wat in sommige gevallen misschien handig zou kunnen zijn. a50=2,75.1021
a-30=7,0586.10-13
ik neem aan dat jij deze recursie numeriek in python hebt opgelost?
- Moderator
- Berichten: 9.940
Re: recursieve rij
Je kunt iedere an schrijven als lineaire combinatie met reële coëfficiënten van de twee vorige (of twee volgende) termen.
De twee gegeven waardes zijn reëel, dus zijn alle ander dat ook.
Ik begrijp bij jou de overgang van regel 2 naar regel 3 niet.
Ik heb in dit geval de waardes met Excel berekend.
De twee gegeven waardes zijn reëel, dus zijn alle ander dat ook.
Ik begrijp bij jou de overgang van regel 2 naar regel 3 niet.
Ik heb in dit geval de waardes met Excel berekend.
- Berichten: 4.536
- Moderator
- Berichten: 9.940
Re: recursieve rij
Duidelijk. Ik kom op dezelfde waardes voor a50 en a-30.
Maar ik zie geen complexe waardes
Maar ik zie geen complexe waardes
- Berichten: 4.536
Re: recursieve rij
ik bedoelde dat de gesloten uitdrukking voor a(n) van complexe vorm is..
alle reekstermen zijn uiteraard reëel
alle reekstermen zijn uiteraard reëel
- Berichten: 4.320
- Berichten: 4.536
Re: recursieve rij
Bedoel je dat het merkwaardig is dat a(n) een complexe expressie is? hoeft niet altijd!
Het hangt af van de coëfficiënten en tekens van de recursieve reeks.
bijvoorbeeld: an = an-1 + 6an-2
a0=2, a1= -3
Het hangt af van de coëfficiënten en tekens van de recursieve reeks.
bijvoorbeeld: an = an-1 + 6an-2
a0=2, a1= -3
- Berichten: 4.320
Re: recursieve rij
War merk waardig is dat als er pseudo-geïnterpoleerd wordt er toch reële waarden uit komen.
-
- Berichten: 463
Re: recursieve rij
Als de karakteristieke vergelijking complexe oplossingen geeft, dan zijn deze elkaars complex geconjugeerden.
Dus de oplossing van je recursie heeft deze vorm:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (c+di)(r-si)^n
Omdat a[0] reeel is, moet bi+di=0 zijn, ofwel d=-b:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (c-bi)(r-si)^n
Omdat ook a[1] reeel is, moet asi-csi=0 zijn, ofwel (want s is ongelijk nul) c=a:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (a-bi)(r-si)^n
Definieer:
(noot: je ziet nu mooi het periodieke karakter van de recursieve rij)
Voor jouw vergelijking kom ik uit op:
en zo zijn we weer terug in de reële wereld.
PS:
De situatie van zuiver imaginaire oplossingen van de karakteristieke vergelijking laat ik aan jou over.
Dus de oplossing van je recursie heeft deze vorm:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (c+di)(r-si)^n
Omdat a[0] reeel is, moet bi+di=0 zijn, ofwel d=-b:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (c-bi)(r-si)^n
Omdat ook a[1] reeel is, moet asi-csi=0 zijn, ofwel (want s is ongelijk nul) c=a:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (a-bi)(r-si)^n
Definieer:
\(p = \sqrt{a^2+b^2}\)
\(\theta = \text{atan}(b/a)\)
\(q = \sqrt{r^2+s^2}\)
\(\phi = \text{atan}(s/r)\)
dan kan je de oplossing van de recursie ook schrijven als:\(a[n] = p\cdot e^{i\theta} \cdot \left( q \cdot e^{i\phi} \right)^n + p\cdot e^{-i\theta} \cdot \left( q \cdot e^{-i\phi} \right)^n\)
\(= pq^n\left[ e^{i(n\phi+\theta)} + e^{-i(n\phi+\theta)} \right]\)
\(=2pq^n \cos(n\phi+\theta)\)
(noot: je ziet nu mooi het periodieke karakter van de recursieve rij)
Voor jouw vergelijking kom ik uit op:
\(a[n]=2\sqrt{\frac{55}{19}} \cdot \left(\sqrt{7}\right)^n \cos\left(n\cdot\text{atan}\left(\frac{\sqrt{19}}{3}\right)+\text{atan}\left(\frac{6}{\sqrt{19}}\right)\right)\)
en zo zijn we weer terug in de reële wereld.
PS:
De situatie van zuiver imaginaire oplossingen van de karakteristieke vergelijking laat ik aan jou over.