recursieve rij

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.198

recursieve rij

an = 3an-1 - 7an-2
a0=2, a1= -3
Product.png
Product.png (728 Bytes) 394 keer bekeken
Klopt het dat de algemene reeksterm an een complexe uitdrukking is welke reële reekstermen geeft?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.387

Re: recursieve rij

Ik zie geen complexe waardes ontstaan.

an=(3an+1-an+2)/7

n an
-3 -0,069970845
-2 0,265306122
-1 1,285714286
0 2
1 -3
2 -23
3 -48
4 17

Dat geeft voor het product 2687,683397

Gebruikersavatar
Berichten: 3.198

Re: recursieve rij

Die is er wel...
Ik heb deze methode toegepast om de expressie voor a(n) te vinden waarmee elke reeksterm snel berekend kan worden, wat in sommige gevallen misschien handig zou kunnen zijn.
complexe expressie.png
a50=2,75.1021
a-30=7,0586.10-13
ik neem aan dat jij deze recursie numeriek in python hebt opgelost?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.387

Re: recursieve rij

Je kunt iedere an schrijven als lineaire combinatie met reële coëfficiënten van de twee vorige (of twee volgende) termen.
De twee gegeven waardes zijn reëel, dus zijn alle ander dat ook.

Ik begrijp bij jou de overgang van regel 2 naar regel 3 niet.

Ik heb in dit geval de waardes met Excel berekend.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.198

Re: recursieve rij

Xilvo schreef: wo 09 jun 2021, 14:38 Ik begrijp bij jou de overgang van regel 2 naar regel 3 niet.
bedoel je dit?
Karakteristieke nulpunten.png
we krijgen dan de expressie voor a(n) in gesloten vorm

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.387

Re: recursieve rij

Duidelijk. Ik kom op dezelfde waardes voor a50 en a-30.

Maar ik zie geen complexe waardes

Gebruikersavatar
Berichten: 3.198

Re: recursieve rij

ik bedoelde dat de gesloten uitdrukking voor a(n) van complexe vorm is..
alle reekstermen zijn uiteraard reëel

Gebruikersavatar
Berichten: 3.750

Re: recursieve rij

ukster schreef: wo 09 jun 2021, 16:26 ik bedoelde dat de gesloten uitdrukking voor a(n) van complexe vorm is..
alle reekstermen zijn uiteraard reëel
Ik heb het zelfde gevonden met Maple. ( via resolve)

Het resultaat is wel merkwaardig.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.198

Re: recursieve rij

Bedoel je dat het merkwaardig is dat a(n) een complexe expressie is? hoeft niet altijd!
Het hangt af van de coëfficiënten en tekens van de recursieve reeks.
bijvoorbeeld: an = an-1 + 6an-2
a0=2, a1= -3
recursieve reeks.png

Gebruikersavatar
Berichten: 3.750

Re: recursieve rij

War merk waardig is dat als er pseudo-geïnterpoleerd wordt er toch reële waarden uit komen.

Berichten: 265

Re: recursieve rij

Als de karakteristieke vergelijking complexe oplossingen geeft, dan zijn deze elkaars complex geconjugeerden.
Dus de oplossing van je recursie heeft deze vorm:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (c+di)(r-si)^n
Omdat a[0] reeel is, moet bi+di=0 zijn, ofwel d=-b:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (c-bi)(r-si)^n
Omdat ook a[1] reeel is, moet asi-csi=0 zijn, ofwel (want s is ongelijk nul) c=a:
a[n] = (a+bi)(r+si)^n + (a-bi)(r-si)^n

Definieer:
\(p = \sqrt{a^2+b^2}\)
\(\theta = \text{atan}(b/a)\)
\(q = \sqrt{r^2+s^2}\)
\(\phi = \text{atan}(s/r)\)
dan kan je de oplossing van de recursie ook schrijven als:

\(a[n] = p\cdot e^{i\theta} \cdot \left( q \cdot e^{i\phi} \right)^n + p\cdot e^{-i\theta} \cdot \left( q \cdot e^{-i\phi} \right)^n\)
\(= pq^n\left[ e^{i(n\phi+\theta)} + e^{-i(n\phi+\theta)} \right]\)
\(=2pq^n \cos(n\phi+\theta)\)

(noot: je ziet nu mooi het periodieke karakter van de recursieve rij)

Voor jouw vergelijking kom ik uit op:

\(a[n]=2\sqrt{\frac{55}{19}} \cdot \left(\sqrt{7}\right)^n \cos\left(n\cdot\text{atan}\left(\frac{\sqrt{19}}{3}\right)+\text{atan}\left(\frac{6}{\sqrt{19}}\right)\right)\)

en zo zijn we weer terug in de reële wereld.


PS:
De situatie van zuiver imaginaire oplossingen van de karakteristieke vergelijking laat ik aan jou over.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.198

Re: recursieve rij

Knap gevonden..

Reageer