minimum

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 4.043

minimum

Met Minkowski’s ongelijkheid
Minkowski's ongelijkheid.png
Minkowski's ongelijkheid.png (1.96 KiB) 1158 keer bekeken
wordt aangetoond dat voor x+y=1 (x,y ∈R+ ) de minimum waarde van de functie √5 is.
Ik zie echter niet hoe dit in z’n werk gaat voor de functie
functie.png
functie.png (2.03 KiB) 1164 keer bekeken
voor a+b+c=1 (a,b,c ∈R+ )

Berichten: 393

Re: minimum

Definieer de 3 vectoren v, w en u als:

\(\small v=\begin{bmatrix} a \\ b \\ 1/a \\ 1/b \end{bmatrix}, \;\; w=\begin{bmatrix} b \\ c \\ 1/b \\ 1/c \end{bmatrix} \;\; \text{en} \;\; u=\begin{bmatrix} c \\ a \\ 1/c \\ 1/a \end{bmatrix}\)

dan is

\(\small \parallel v \parallel + \parallel w \parallel + \parallel u \parallel\;\; \ge \;\; \parallel v+w+u \parallel \;= \sqrt{2(a+b+c)^2 + 2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)^2
}\)

Bepaal voor de tweede term onder het wortelteken het minimum, bijvoorbeeld via de functie
\(\small f(x,y) = \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{1-x-y}\)
onder de voorwaarden x > 0, y > 0 en 1-x-y > 0

Wat is tenslotte het minimum van de totale wortel?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.043

Re: minimum

Mooie gelegenheid om naast de Minkowski ongelijkheid ook de RG-MG ongelijkheid voor 3 positieve reële getallen a, b, c toe te passen.
1.png
1.png (2.08 KiB) 1034 keer bekeken
2.png
2.png (4.9 KiB) 1022 keer bekeken
3.png
3.png (2.21 KiB) 1034 keer bekeken

Reageer