integraal

[ukster]

bepaalde integraal.png (1.98 KiB) 3145 keer bekeken

Welke substitutie(s) kunnen hier het beste worden toegepast?

[tempelier]

Heb je al geprobeerd hem op te spitsen via:

ln(a/b) = ln a - ln b

?

[ukster]

Ja, bijvoorbeeld met substitutie x=3y en aanpassing van de integratiegrenzen.

substitutie.png (7.35 KiB) 3066 keer bekeken

[tempelier]

dy/y = ln y

[wnvl1]

Misschien reeksontwikkeling van de ln rond 1?

[ukster]

dy/y = ln y

Dit levert een expressie met dilog op

de numerieke oplossing ervan is ≈0,60347.... dus dat klop wel

[wnvl1]

Je hebt via reeksontwikkeling

$$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$

,dus

$$\ln(1+9y^4) = 9y^4-\frac{9^2y^8}{2}+\frac{9^3y^{12}}{3}-\frac{9^4y^{16}}{4}+\cdots$$
en
$$\ln(1+y^2) = y^2-\frac{y^4}{2}+\frac{y^{6}}{3}-\frac{y^{8}}{4}+\cdots$$

$$\frac{\ln(1+9y^4) - \ln(1+y^2)}{y}=-y + \frac{17}{2}y^3-\frac{1}{3}y^5-\frac{191}{4}y^7+...$$

Dat integreren en dan grenzen invullen, maar direct naar een oplossing leiden doet dat ook niet, denk ik.

[HansH]

bepaalde integraal.png
Welke substitutie(s) kunnen hier het beste worden toegepast?

is er een reden waarom het zodanig is opgeschreven dat de 1/x apart staat en niet al is vermenigvuldigd met de noemer tot x^3 +9x ?

[ukster]

Dat integreren en dan grenzen invullen, maar direct naar een oplossing leiden doet dat ook niet, denk ik.

Ik verwacht ook niet dat hiermee de exacte oplossing 1/2(ln(3))² er uitrolt.

is er een reden waarom het zodanig is opgeschreven dat de 1/x apart staat en niet al is vermenigvuldigd met de noemer tot x^3 +9x ?

Kan niet. De complete ln-uitdrukking wordt gedeeld door x

Overigens hebben W.Janous en S.Jason het probleem gegeneraliseerd met het volgende bewijs:

bepaalde integraal.png (3.23 KiB) 2955 keer bekeken

[wnvl1]

Waar kunnen we dan het bewijs vinden?
Of moeten we die uitdrukking met de dilog als bewijs beschouwen?

[ukster]

Waar kunnen we dan het bewijs vinden?
Of moeten we die uitdrukking met de dilog als bewijs beschouwen?

Op het net heb ik dat bewijs (nog) niet kunnen vinden.
Die dilogexpressie geeft de numerieke oplossing.

ik had gedacht de exacte oplossing te vinden door substitutie(s)

[ukster]

Ik stel me zo voor dat door het toepassen van nog een (slimme) substitutie het probleem wordt opgedeeld in bijvoorbeeld drie integralen waarvan er één het exacte resultaat oplevert en de som van de andere twee nul is.

[wnvl1]

Dikwijls zit er in dat soort van puzzels ook een symmetrie waardoor er dingen wegvallen. Die symmetrie komt dan vaak naar boven door de juiste substitutie.

[OOOVincentOOO]

Helpt dit (via staartdeling):

$$\log\left( \frac{x^4+9}{x^2+9} \right)= \log \left( \frac{(x^2+9)(x^2-9)+90 }{x^2+9} \right) = \log \left( \frac{a+90 }{a} \right) $$

Late avond post dus foutjes kunnen erin zitten. En dan integration by parts?

mmm. foutje ingeslopen te laat om te repareren en geen edit tijd meer . Net edit gedaan weet niet of klopt. Snel checken op papier.

[wnvl1]

\(x^2-9 + \frac{90}{x^2+9}\)

Maar ik betwijfel dat het helpt.