reeksontwikkeling
- Pluimdrager
- Berichten: 6.458
reeksontwikkeling
Wat verstaan we onder uniforme convergentie van een reeks?
- Berichten: 1.867
Re: reeksontwikkeling
De definitie met het supremum zal wel in het boek staan, maar een voorbeeld is misschien verduidelijkend.
Beschouw
$$f_n(x) = 1/n \cdot x$$
in \(\mathbb{R}\).
Puntsgewijs heb je wel convergentie naar 0 voor grote waarden van n. Maar de rij convergeert niet uniform, omdat elke functie fn toch uiteindelijk steeds naar oneindig gaat voor grote waarden van x, en dus gaat het supremum nooit 0 worden.
Beschouw
$$f_n(x) = 1/n \cdot x$$
in \(\mathbb{R}\).
Puntsgewijs heb je wel convergentie naar 0 voor grote waarden van n. Maar de rij convergeert niet uniform, omdat elke functie fn toch uiteindelijk steeds naar oneindig gaat voor grote waarden van x, en dus gaat het supremum nooit 0 worden.
- Berichten: 4.194
- Pluimdrager
- Berichten: 6.458
Re: reeksontwikkeling
Ln(1+x)=x-1/2.x^2+1/3.x^3-1/4.x^4+....
Wil iemand dit met de taylorformule afleiden want ik begrijp er niets meer van Als je stelt dat x=1 dan krijg je Ln(2)=1-1/2+1/3-1/4+1/5- ( hoe zie je dan dat de limiet naar Ln2 gaat. Ik begrijp er niets van
Wil iemand dit met de taylorformule afleiden want ik begrijp er niets meer van Als je stelt dat x=1 dan krijg je Ln(2)=1-1/2+1/3-1/4+1/5- ( hoe zie je dan dat de limiet naar Ln2 gaat. Ik begrijp er niets van
- Berichten: 1.867
Re: reeksontwikkeling
Begin eens met de eerste afgeleide van ln(1+x) te berekenen...
- Berichten: 4.194
Re: reeksontwikkeling
Het kan ook via de integraal definiet zonder Tayler.
zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm
zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm
- Berichten: 4.340
- Berichten: 194
Re: reeksontwikkeling
Euler heeft feitelijk 3 bewijzen gevonden. Het eerste, toen hij 28 jaar was, is uit 1735 gaat als volgt:
1) Beschouw de formule die sin(πx) uitdrukt al oneindig product van eerstegraadsfactoren
2) Beschouw de Taylorreeks voor sin(πx)
3) Werk het oneindige product uit en neem de termen met dezelfde macht van x samen
4) vergelijk nu de term in x³ uit die laatste uitwerking met de term in x³ van de Taylorreeks: die moeten gelijk zijn. QED!
Naar moderne maatstaven is dit bewijs wel wat 'slordig' (bv mag je wel een oneindig product zo uitwerken?), maar Euler was een held in dit soort berekeningen juist uit te voeren. Nu zijn er stellingen die deze stappen rechtvaardigen, hij deed het intuïtief juist. Aad, waar zit je juist vast in je gevecht met ln(x+1)?
- Pluimdrager
- Berichten: 6.458
Re: reeksontwikkeling
eerst ga ik reageren op het bericht van wnvl1 van 1 september
- Pluimdrager
- Berichten: 6.458
Re: reeksontwikkeling
Als ik een functie heb waarom zou je dan de reeksontwikkeling van taylor gebruiken, want de ontwikkeling van mc.laurin is veel eenvoudiger.
- Berichten: 1.867
Re: reeksontwikkeling
De convergentiestraal van een McLaurin reeks voor ln(1+x) is 1. Voor x=-1 gaat die reeks niet meer convergeren. Als je dus een substitutie doet x->x-1, dan mag je nadien x niet gelijk aan nul stellen.