reeksontwikkeling

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

reeksontwikkeling

img357.jpg
Wat verstaan we onder uniforme convergentie van een reeks?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.275

Re: reeksontwikkeling

De definitie met het supremum zal wel in het boek staan, maar een voorbeeld is misschien verduidelijkend.

Beschouw

$$f_n(x) = 1/n \cdot x$$

in \(\mathbb{R}\).

Puntsgewijs heb je wel convergentie naar 0 voor grote waarden van n. Maar de rij convergeert niet uniform, omdat elke functie fn toch uiteindelijk steeds naar oneindig gaat voor grote waarden van x, en dus gaat het supremum nooit 0 worden.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: reeksontwikkeling

img376.jpg

Gebruikersavatar
Berichten: 2.275

Re: reeksontwikkeling

Hint: Bazel probleem.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.315

Re: reeksontwikkeling

aadkr schreef: ma 17 jul 2023, 22:57img376.jpg
Hoe Euler het heeft opgelost weet ik niet, vermoedelijk met complexe functies.

Het kan echter ook worden opgelost met Fourier.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: reeksontwikkeling

Ln(1+x)=x-1/2.x^2+1/3.x^3-1/4.x^4+....
Wil iemand dit met de taylorformule afleiden want ik begrijp er niets meer van Als je stelt dat x=1 dan krijg je Ln(2)=1-1/2+1/3-1/4+1/5- ( hoe zie je dan dat de limiet naar Ln2 gaat. Ik begrijp er niets van

Gebruikersavatar
Berichten: 2.275

Re: reeksontwikkeling

Begin eens met de eerste afgeleide van ln(1+x) te berekenen...

Gebruikersavatar
Berichten: 4.315

Re: reeksontwikkeling

Het kan ook via de integraal definiet zonder Tayler.

zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm

Gebruikersavatar
Berichten: 4.518

Re: reeksontwikkeling

aadkr schreef: do 31 aug 2023, 23:07 Ln(1+x)=x-1/2.x^2+1/3.x^3-1/4.x^4+....
Wil iemand dit met de taylorformule afleiden want ik begrijp er niets meer van Als je stelt dat x=1 dan krijg je Ln(2)=1-1/2+1/3-1/4+1/5- ( hoe zie je dan dat de limiet naar Ln2 gaat. Ik begrijp er niets van
Taylorapproximation.png
Taylorapproximation.png (15.41 KiB) 6441 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 209

Re: reeksontwikkeling

aadkr schreef: ma 17 jul 2023, 22:57img376.jpg
Euler heeft feitelijk 3 bewijzen gevonden. Het eerste, toen hij 28 jaar was, is uit 1735 gaat als volgt:
1) Beschouw de formule die sin(πx) uitdrukt al oneindig product van eerstegraadsfactoren
2) Beschouw de Taylorreeks voor sin(πx)
3) Werk het oneindige product uit en neem de termen met dezelfde macht van x samen
4) vergelijk nu de term in x³ uit die laatste uitwerking met de term in x³ van de Taylorreeks: die moeten gelijk zijn. QED!
Naar moderne maatstaven is dit bewijs wel wat 'slordig' (bv mag je wel een oneindig product zo uitwerken?), maar Euler was een held in dit soort berekeningen juist uit te voeren. Nu zijn er stellingen die deze stappen rechtvaardigen, hij deed het intuïtief juist.
basel.jpg
Aad, waar zit je juist vast in je gevecht met ln(x+1)?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: reeksontwikkeling

eerst ga ik reageren op het bericht van wnvl1 van 1 september

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: reeksontwikkeling

img388.jpg

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: reeksontwikkeling

img389.jpg
Als ik een functie heb waarom zou je dan de reeksontwikkeling van taylor gebruiken, want de ontwikkeling van mc.laurin is veel eenvoudiger.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: reeksontwikkeling

img390.jpg
snapt iemand hier nog wat van?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.275

Re: reeksontwikkeling

De convergentiestraal van een McLaurin reeks voor ln(1+x) is 1. Voor x=-1 gaat die reeks niet meer convergeren. Als je dus een substitutie doet x->x-1, dan mag je nadien x niet gelijk aan nul stellen.

Reageer