differentiaal vergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.623

differentiaal vergelijking

img476.jpg

Gebruikersavatar
Berichten: 2.595

Re: differentiaal vergelijking

Doe een substitutie \(z(x)=e^{-y(x)}\).
Daarna kan je het omvormen naar een Bernouilli differentiaal vergelijking.

Gebruikersavatar
Berichten: 234

Re: differentiaal vergelijking

Doe een substitutie y= ln(z)

De DV wordt dan
\(\frac{dz}{dx}-z\cdot x=1\)
Je kan dan werken met integratiefactor
\( e^{-\frac{x^2}{2}}\)
Zo wordt de DV
\(z \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}=\int e^{-\frac{x^2}{2}} dx+c\)
Ik kom na een korte berekening op
\( y=\frac{x^2}{2}+\ln(\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c)\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.623

Re: differentiaal vergelijking

beste Bart23 ik kan het niet volgen. Je stelt : y=Ln(z) maar wat is z? dy/dz=1/z . verder kom ik niet.

Gebruikersavatar
Berichten: 234

Re: differentiaal vergelijking

We gaan over op een nieuwe veranderlijke z. Het verband tussen y en z is y=ln(z), of wat hetzelfde is:
\(z=e^y\)
Het verband tussen de afgeleiden vinden we met de kettingregel:
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}=\frac{1}{z}\cdot\frac{dz}{dx}\)
De DV wordt
\(\frac{1}{z}\cdot\frac{dz}{dx}=x+\frac{1}{z}\)
Dan kan je beide leden vermenigvuldigen met z om tot de eerste DV uit mijn antwoord te komen.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.623

Re: differentiaal vergelijking

Geachte Bart23, tot zover begrijp ik het. Alvast hartelijk dank daarvoor . Aad

Gebruikersavatar
Berichten: 234

Re: differentiaal vergelijking

\(\frac{dz}{dx}-z\cdot x=1\)
is een 'standaard' lineaire DV vd 1ste orde, zie bv:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_ ... erste_orde

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.623

Re: differentiaal vergelijking

ik begrijp het niet. Hoe weet je dat de integrerende factor =y=e tot de macht 1/2.x kwadraat.
inje bericht staat ""zo wordt de differentiaalvergelijking "wat er dan volgt begrijp ik niet.
Wilt U mij a.u.b. helpen?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.623

Re: differentiaal vergelijking

img477.jpg

Gebruikersavatar
Berichten: 234

Re: differentiaal vergelijking

De bedoeling is om de DV
\(\frac{dz}{dx}-z\cdot x=1\)
te vermenigvuldigen met een functie r(x) zodanig dat in het linkerlid iets komt te staan dat de vorm heeft van de afgeleide van een product, dus iets van de vorm f'g+fg'.
Vermenigvuldig alvast met de (nog onbekende) factor r(x):
\(\frac{dz}{dx}\cdot r(x)-z\cdot r(x)\cdot x =r(x)\)
Als nu r(x) zó is dat
\(-r(x)\cdot x= \frac{dr(x)}{dx}\)
dan wordt de vergelijking
\(\frac{dz}{dx}\cdot r(x)+z\cdot \frac{dr(x)}{dx} =r(x)\)
Het linkerlid heeft nu de vorm van een afgeleide van een product. We kunnen dus schrijven:
\(\frac{d}{dx}(z\cdot r(x)) =r(x)\)
Met dit laatste gaan we dadelijk verder, eerst zoeken we een r(x) die aan de gezochte voorwaarde voldoet.
\(-r(x)\cdot x= \frac{dr(x)}{dx}\Leftrightarrow \frac{dr(x)}{r(x)}=-xdx\Rightarrow \int\frac{dr(x)}{r(x)}=\int -xdx \Rightarrow\ln(r(x))=-\frac{x^2}{2}+k\)
Kies k=0 en herschrijf als
\(r(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}\)
Nu hebben we een goede r(x) gevonden, die kunnen we nu invullen:
\(\frac{d}{dx}(z\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}) =e^{-\frac{x^2}{2}}\)
Integreren:
\(\int d(z\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}) =\int e^{-\frac{x^2}{2}}dx\)
Nu is die laatste integraal niet met elementaire functies uit te drukken. Daar wordt een nieuwe functie mee gedefinieerd, de zgn 'error functie'. Meer bepaald:
\(erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-z^2}dz\)
We kunnen dus schrijven
\(\int e^{-\frac{x^2}{2}}dx= \int e^{-(\frac{x}{\sqrt{2}})^2}dx=\sqrt{2}\int e^{-(\frac{x}{\sqrt{2}})^2}d(\frac{x}{\sqrt{2}})\)
\(=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int e^{-(\frac{x}{\sqrt{2}})^2}d(\frac{x}{\sqrt{2}})= \sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c\)
Conclusie:
\(z\cdot e^{\frac{-x^2}{2}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c\Rightarrow z=e^{\frac{x^2}{2}}\cdot(\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c)\)
Nu nog de ln van beide leden nemen (en we hadden y=ln z)
\(y=\ln(e^{\frac{x^2}{2}}\cdot(\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c))\)
\(y=\ln(e^{\frac{x^2}{2}})+\ln(\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c)\)
\(y=\frac{x^2}{2}+\ln(\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c)\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.623

Re: differentiaal vergelijking

Hartelijk dank voor alle moeite die U neemt.
Ik moet de tijd nemen om dit tot me door te laten dringen.
In ieder geval: nogmaals veel dank.
aad

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.623

Re: differentiaal vergelijking

img478.jpg

Gebruikersavatar
Berichten: 234

Re: differentiaal vergelijking

\(\frac {1+y}{1-y}=\frac{1-y+2y}{1-y}=1-\frac{2}{1-y}\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.623

Re: differentiaal vergelijking

moet dat antwoord niet zijn (1-y+2y)/(1-y)=1+2.y/(1-y)

Gebruikersavatar
Berichten: 234

Re: differentiaal vergelijking

Klopt, typfoutje;-)

Reageer