Snellere manier kleinste kwadraten methode

Moderator: dirkwb

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 145

Snellere manier kleinste kwadraten methode

Stel we hebben de punten (-1,1), (1, 2), (2, 3), (3, 3). Één manier om de best passende rechte lijn te vinden is door zowel
\(\frac{\partial f}{\partial a}\)
en
\(\frac{\partial f}{\partial b}\)
te berekenen van
\(f(a,b) = (-a + b - 1)^2 + (a + b - 2)^2 + (2a + b - 3)^2 + (3a + b - 3)^2\)
. Dan krijg je twee vergelijkingen waaruit je a en b kunt oplossen, maar dit is wel (relatief) veel werk en ik herinner mij dat het veel sneller kon. Weet iemand zo'n snellere manier?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Moderator
Berichten: 4.211

Re: Snellere manier kleinste kwadraten methode

Los op:
\(A^T A x = A^T b\)
.
Quitters never win and winners never quit.

Re: Snellere manier kleinste kwadraten methode

Dan moet je er wel even bijschrijven wat
\(A\)
en wat
\(b\)
is.

De drie bekendste lineaire 'curve fitting' methoden zijn:

Algebraisch: Least squares (kleinste kwadraten). Hier is de som van de vertikale afstanden tot de lijn minimaal.

Geometrisch: Total least squares. Veel meer werk, maar nauwkeuriger, want dan is de som van de loodrechte afstanden tot de lijn minimaal.

Complex: De elegantste methode. Dan is de som van de kwadraten van de loodrechte afstanden tot de lijn minimaal.

(Zwaartepunt is steunvector.
\(\sqrt\)
Som van kwadraten van verschil met zwaartepunt is richtingsvector).

Re: Snellere manier kleinste kwadraten methode

In genoemde voorbeeld: De punten zijn (-1,1), (1, 2), (2, 3), (3, 3).
\(a_1=-1+I,\ a_2=1+2I,\ a_3=2+3I,\ a_4=3+3I\)
.

Gemiddelde is
\(\mbox{gem }= \frac14\sum a_i = \frac54 + \frac94I\)
.
\(\frac14\sum (a_i-\mbox{ gem })^2 = \frac32 + \frac{19}{8}I\)
.

Daarvan de wortel trekken geeft de richtingsvector
\(\sqrt{\sqrt{505}+12} + I\sqrt{\sqrt{505}-12}\)
Dus
\(y = \frac{\sqrt{\sqrt{505}-12}}{\sqrt{\sqrt{505}+12}}x - \frac32\frac{\sqrt{\sqrt{505}-12}}{\sqrt{\sqrt{505}+12}} + \frac{19}{8}\)
.

plot:

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(-1,3,0,4,300,300,600,600, '(sqrt(sqrt(505)-12))/(sqrt(sqrt(505)+12))*x-3/2*(sqrt(sqrt(505)-12))/(sqrt(sqrt(505)+12))+19/8')</script><!--graphend-->

Re: Snellere manier kleinste kwadraten methode

En zonder fouten levert dat op

Gemiddelde is
\(\mbox{gem }= \frac14\sum a_i = \frac54 + \frac94I\)
.
\(\sum (a_i-\mbox{ gem })^2 = 6 + \frac{19}{2}I\)
.

Daarvan de wortel trekken geeft de richtingsvector
\(\sqrt{\sqrt{505}+12} + I\sqrt{\sqrt{505}-12}\)
Dus
\(y = \frac{\sqrt{\sqrt{505}-12}}{\sqrt{\sqrt{505}+12}}x - \frac54\frac{\sqrt{\sqrt{505}-12}}{\sqrt{\sqrt{505}+12}} + \frac{9}{4}\)
.

plot:

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(-1,3,0,4,300,300,600,600, '(sqrt(sqrt(505)-12))/(sqrt(sqrt(505)+12))*x-5/4*(sqrt(sqrt(505)-12))/(sqrt(sqrt(505)+12))+9/4','sqrt(0.001-pow(x+1,2))+1','-sqrt(0.001-pow(x+1,2))+1','sqrt(0.001-pow(x-1,2))+2','-sqrt(0.001-pow(x-1,2))+2','sqrt(0.001-pow(x-2,2))+3','-sqrt(0.001-pow(x-2,2))+3','sqrt(0.001-pow(x-3,2))+3','-sqrt(0.001-pow(x-3,2))+3')</script><!--graphend-->

Reageer