Stelling van frobenius vr stochastische matrices

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer
Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 10.180

Stelling van frobenius vr stochastische matrices

In een van mn cursussen kwam ik volgende stelling tegen en het bewijs staat er jammer genoeg niet bij...Echter, ik zou het toch graag begrijpen mar zie er geen beginnen aan...

Stelling: Als L een stochastische matrix is, geldt voor alle eigenwaardes
\(\lambda_i\)
dat
\( \lambda_i \leq 1\)
. Bovendien is 1 steeds een eigenwaarde.

Ik zou graag geven wat ik al heb, maar ik zie er echt geen beginnen aan...google hielp mij ook al niet veel jammer genoeg =D>

PS een stochastische matrix is (bij ons) een matrix waarvan de som van de elementen in één rij steeds 1 is. En alle elementen zijn positief ;)

Bvd,

DRies
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: Stelling van frobenius vr stochastische matrices

Google hielp niet? Info over de stelling, bijvoorbeeld hier en hier (algemener). En voor een bewijs, klik.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: Stelling van frobenius vr stochastische matrices

Noem die matrix
\(A\)
.

Dat 1 een eigenwaarde is is snel in te zien.

De som van de elementen in elke rij van de matrix
\(A-I\)
is 0.

Dat betekent dus, dat alle kolommen bij elkaar opgeteld de nulvector geeft.

Dus de kolommen zijn afhankelijk en de matrix
\(A-I\)
is singulier, d.w.z. 1 is een eigenwaarde.

Stel
\(A\)
heeft een eigenwaarde
\(\lambda > 1\)
.

Elk element van de vector
\(Ax\)
(x willekeurig) is van de vorm
\(p_1x_1+\cdots + p_nx_n\)
,

waarbij
\((p_1,p_2,\cdots,p_n)\)
een rij van de matrix is.

Je kunt dan
\(p_1x_1+\cdots + p_nx_n\)
zien als een kansverdeling, waarbij je met kans
\(p_i,\ \ \ x_i\)
trekt.

Die som is altijd kleiner dan het maximale element
\(Z\)
van de rij
\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)
.

Dus als
\(Ax = b\)
, dan is
\(b_i \le Z\)
voor elke
\(i\)
Dus als
\(\max\(\x_1,x_2,\cdots, x_n\} \le Z\)
, dan is
\(\max\{(Ax)_1,(A_x)_2,\cdots,(Ax)_n\} \le Z\)
.

en dus
\(\max\{(A^kx)_1,(A^k_x)_2,\cdots,(A^kx)_n\} \le Z\)
.

Echter als
\(Ax = \lambda x\)
, dan is
\(A^kx = \lambda^k x\)
,
\(\lim_{k\to \infty} \lambda^k = \infty\)
als
\(\lambda > 1\)
.

en dus
\(\max\{(A^kx)_1,(A^k_x)_2,\cdots,(A^kx)_n\} \not \le Z\)
voor
\(k\)
groot genoeg.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 10.180

Re: Stelling van frobenius vr stochastische matrices

PeterPan, zeer fel bedankt =D> Dit is zeer helder en duidelijk uitgelegd!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 10.180

Re: Stelling van frobenius vr stochastische matrices

Hey,

ik zit met nog één probleempje, nl, wrm is
\((A^k x)_i \leq (A x)_i\)
met i = 1 ... n? =D>
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Re: Stelling van frobenius vr stochastische matrices

Dat staat nergens.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 10.180

Re: Stelling van frobenius vr stochastische matrices

Dat staat nergens.
Waarom is dan
\(\max\{(A^kx)_1,(A^k_x)_2,\cdots,(A^kx)_n\} \leq Z\)
? =D>
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Re: Stelling van frobenius vr stochastische matrices

Als
\(\max\{x_1,x_2,\cdots, x_n\} \le Z\)
, dan is
\(\max\{(Ax)_1,(Ax)_2,\cdots,(Ax)_n\} \le Z\)
.

Snap je dat?

Uit
\(\max\{(Ax)_1,(A_x)_2,\cdots,(Ax)_n\} \le Z\)
volgt dan
\(\max\{(A^2x)_1,(A^2x)_2,\cdots,(A^2x)_n\} \le Z\)
,

en uit
\(\max\{(A^2x)_1,(A^2_x)_2,\cdots,(A^2x)_n\} \le Z\)
volgt dan weer
\(\max\{(A^3x)_1,(A^3x)_2,\cdots,(A^3x)_n\} \le Z\)
,

enz. enz.


Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 10.180

Re: Stelling van frobenius vr stochastische matrices

Tuurlijk :P Danku!!! ;)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 60

Re: Stelling van frobenius vr stochastische matrices

PeterPan schreef:Noem die matrix
\(A\)
.

Dat 1 een eigenwaarde is is snel in te zien.

(...)

en dus
\(\max\{(A^kx)_1,(A^k_x)_2,\cdots,(A^kx)_n\} \not \le Z\)
voor
\(k\)
groot genoeg.


Ga je hier niet een beetje te kort door de bocht, de eigenwaarde/vector kan toch ook complex zijn?

Re: Stelling van frobenius vr stochastische matrices

Ga je hier niet een beetje te kort door de bocht, de eigenwaarde/vector kan toch ook complex zijn?
Dat is ook zo. De stelling zou moeten luiden
\(|\lambda|\le 1\)
voor alle eigenwaarden
\(\lambda\)
.

Dat verandert aan het verhaal niet veel. Wel moeten alle
\(\lambda\)
's vervangen worden door
\(|\lambda|\)
.

Reageer