Power method

[m3e30]

Hoi allemaal,

Voor het vak Applied Linear Algebra moet ik een opdracht maken.

Bedoeling is om met Power Method diverse eigenvalues van een 12 bij 12, symmetrische matrix A te vinden.

Vraag 3 luidt echter: Zoek een waarde B, zó dat:

A+B*I (waarbij I the identity is) niet noodzakelijk convergeert.

Als hint is gegeven, gebruik de schatting (ook m.b.v. Power Method) voor de grootste en kleinste eigenvalue van A, die je bij de vorige vraag hebt berekend.

Ik kan alleen op geen enkele manier een geschikte B vinden. Je verschuift alle 12 eigenvalues van A toch ook alleen maar op deze manier?? De kleinste eigenvalue van A = -15.648, de grootste eigenvalue van A = 25.9560 en de andere 10 liggen net boven de 5. Complexe eigenvalues zoeken werkt niet, want A is symmetrisch dus ga je niet vinden. De bedoeling is dus om A zo te modificeren dat de ratio labda2/labda1 (één na grootste eigenvalue van A in ABS/grootste eigenvalue van A in ABS) gelijk is aan 1, of heel dicht bij 1 ligt. Dan verloopt het convergeren iig heel erg langzaam.

Maar hoe kan ik A zo aanpassen met alleen een optelling (B kan zowel positief of negatief zijn) van de Identity???

De letterlijke vraag:

" 4. Consider A + B*I. Determine, by use of the answer to the previous question

a value of B for which the power method is not necessarily converging. With

the value of B just found, carry out 20 steps of the power method with x0 = 1."

Hoop dat iemand me kan helpen, thanks iig!

Joep

[PeterPan]

Hint:

Neem voor het gemak even aan dat alle eigenwaarden positief zijn. (Dat praat wat makkelijker).

Als

\(a\)

de grootste eigenwaarde is, en

\(b\)

de kleinste,

dan ligt

\(\frac{a+b}{2}\)

even ver van

\(a\)

als van

\(b\)

.

[m3e30]

Hint:

Neem voor het gemak even aan dat alle eigenwaarden positief zijn. (Dat praat wat makkelijker).

Als

\(a\)

de grootste eigenwaarde is, en

\(b\)

de kleinste,

dan ligt

\(\frac{a+b}{2}\)

even ver van

\(a\)

als van

\(b\)

.

Hoi,

Bedankt voor de hint...maar dat had ik zelf ook al bedacht, en werkt helaas niet. ](*,)

Ik zit ook met dat ''niet noodzakelijk''. De matrix A is symmetrisch, en blijft symmetrisch ongeacht de B. Dus daar zal het niet van afhangen.

Het enige wat er gebeurd is dat ALLE eigenvalues verschoven worden over een 'afstand' van de gekozen B.

De ratio λ2/λ1 nadert mijns inziens pas 1 als B--> :eusa_whistle: . Maar dat is niet goed denk ik, want dan gebruik je de grootste en kleinste eigenwaarde van A helemaal niet.

Joep

[PeterPan]

Je snapt het blijkbaar niet.

De power methode werkt niet als

\(|\lambda_1| = |\lambda_2|\)

.

Vergeet daarbij de absolute waarde tekens niet.