Eenvoudig (?) algebra-vraagje

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer

Eenvoudig (?) algebra-vraagje

Even een vraagje tussendoor. Het ziet er naar uit dat onderstaande gewoon waar moet zijn, maar misschien zie ik iets over het hoofd. Bovendien kan ik geen goede bron vinden, waarin het bewijs staat.

Laat A de uitkomst zijn van een rekenkundige uitdrukking waarin als bewerkingen enkel optellingen en vermenigvuldigingen voorkomen en als getallen enkel de reële getallen:
\( g_1 , g_2 , g_3 , ... , g_n \)
. De uitdrukking die ontstaat wanneer we al de respectieve opeenvolgende reële getallen
\( g_1 , g_2 , g_3 , ... , g_n \)
in de rekenkundige uitdrukking voor A door de reële variabelen
\( x_1 , x_2 , x_3 , ... , x_n \)
vervangen, noteren we als:
\( A[x_1 , x_2 , x_3 , ... , x_n ] \)
. Zodat:
\( A = A[g_1, g_2, g_3, ... , g_n] \)
.

We kunnen nu
\( A[ x_1 , x_2 , x_3 , ... , x_n ] \)
uitschrijven als een som van producten. Aldus:
\( A[x_1 , x_2 , x_3 , ... , x_n ] \, = \, \sum_{i = 1}^{2^n - 1} \left ( a_i \, . \prod_{j = 1}^n x_j ^{ e(n,i,j)} \right ) \)
(waarbij de conventie 00 = 1 is gehanteerd).

Hierbij is
\( e(n,i,j) \)
steeds 1 of 0. We houden daarbij de cijfers van opeenvolgende binaire getallen aan. Aldus:

Code: Selecteer alles


n = 1

e(1,1,1) = 1

n = 2

e(2,1,1) = 0   e(2,1,2) = 1

e(2,2,1) = 1   e(2,2,2) = 0

e(2,3,1) = 1   e(2,3,2) = 1

n = 3

e(3,1,1) = 0   e(3,1,2) = 0   e(3,1,3) = 1

e(3,2,1) = 0   e(3,2,2) = 1   e(3,2,3) = 0

e(3,3,1) = 0   e(3,3,2) = 1   e(3,3,3) = 1

e(3,4,1) = 1   e(3,4,2) = 0   e(3,4,3) = 0

e(3,5,1) = 1   e(3,5,2) = 0   e(3,5,3) = 1

e(3,6,1) = 1   e(3,6,2) = 1   e(3,6,3) = 0

e(3,7,1) = 1   e(3,7,2) = 1   e(3,7,3) = 1

Etc.

Voor alle
\( A[x_1 , x_2 , x_3 , ... , x_n ] \)
zijn dan de waarden van de
\(a_i \)
eenduidig bepaald. Hierbij is ook
\(a_i \)
steeds 1 of 0.

Klopt dit wel of klopt dit niet. En zo ja, weet iemand ook waar het bewijs staat (boek of link).

Reageer