x^5 - 6*x + 3 = 0

[Professor Puntje]

Voor vijfdegraadsvergelijkingen bestaat er geen algemene formule op basis van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken waarmee uit de coëfficiënten van de vergelijking de oplossingen kunnen worden berekend. Voorbeeld:
 
x⁵ - 6x + 3 = 0
 
Maar betekent dat ook dat de oplossingen van bovenstaande vergelijking niet kunnen worden geschreven als de resultaten van een eindig aantal optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen, delingen en worteltrekkingen uitgaande van willekeurig welke gehele getallen (dus niet enkel de coëfficiënten van de vergelijking)?

[Safe]

Hoe stel je je dat voor ...

[Professor Puntje]

Willekeurig niet kloppend voorbeeldje van een uitdrukking voor een oplossing van de vergelijking:
 

\( \frac{66 - \sqrt{5 \cdot \sqrt[77]{3}}}{4 \cdot \sqrt{3400978}} \)

 
 
Dus het gaat mij erom of het los van welke algemene oplossingsformule dan ook eveneens onmogelijk is de oplossingen van de betreffende vergelijking met de aangegeven middelen te noteren.

[efdee]

Numeriek proberen in een steeds kleiner interval.
Een grafiek helpt voor de eerste poging.
 
Het antwoord op de eigenlijke vraag weet ik niet.

[tempelier]

Voor vijfdegraadsvergelijkingen bestaat er geen algemene formule op basis van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken waarmee uit de coëfficiënten van de vergelijking de oplossingen kunnen worden berekend. Voorbeeld:
 
x⁵ - 6x + 3 = 0
 
Maar betekent dat ook dat de oplossingen van bovenstaande vergelijking niet kunnen worden geschreven als de resultaten van een eindig aantal optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen, delingen en worteltrekkingen uitgaande van willekeurig welke gehele getallen (dus niet enkel de coëfficiënten van de vergelijking)?

Dat doet zich al voor bij de derde graadvergelijking bij het onherleidbare geval.
 
De oplossingen waar jij op doelt heten de radicalen.
Maar lang niet alle algebraïsche getallen zijn radicalen.

[Professor Puntje]

Dat doet zich al voor bij de derde graadvergelijking bij het onherleidbare geval.
 
De oplossingen waar jij op doelt heten de radicalen.
Maar lang niet alle algebraïsche getallen zijn radicalen.

 
Heeft die verzameling van precies alle getallen die via een eindig aantal optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen, delingen en worteltrekkingen uitgaande van de gehele getallen (en eventueel i) kunnen worden verkregen ook een naam?

[tempelier]

 
Heeft die verzameling van precies alle getallen die via een eindig aantal optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen, delingen en worteltrekkingen uitgaande van de gehele getallen (en eventueel i) kunnen worden verkregen ook een naam?

Ja dat zijn de radicalen een eigen letter hebben ze bij mijn weten niet.
Ook de algebraïsche getallen hebben bij mijn weten geen letter.
 
Hoe de naamgeving precies in het complexe gebied geregeld weet ik niet.

[Professor Puntje]

Hier wordt de betreffende verzameling vermeld:
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number#Numbers_defined_by_radicals
 
Maar ik kan er verder op het internet heel weinig over vinden. Vreemd!