Definities van meetkundige figuren - vlieger

[Bart23]

Nog 2 opmerkingen:
1) Vlakke figuur is op zich te algemeen: anders tellen ellipsen e.d. ook mee. De vlakke figuur moet dus bestaan uit lijnstukken.
2) Wat is eigenlijk de definitie van een 'vlakke figuur'?

[Benm]

Bij veelhoeken zijn het inderdaad rechte lijnstukken. 
 
Vlak zegt zoveel dat ze verschillen dat je de figuur zo kunt positioneren dat de punten verschillen in exact 2 dimensies, bij 1 dimensie is het een lijnstuk, bij meer dan 2 geen veelhoek meer in deze zin van het woord. 

[Bart23]

Die zin begrijp ik niet. Kan je dat eens herformuleren?
Bovendien, wat bedoel je met: 1) figuur, 2) verschillen, 3) positioneren, 4) dimensies

[Benm]

Ik weet niet of ik het goed kan uitleggen, maar positioneren: Stel je neemt een vierkant stuk papier (even aangenomen dat dat oneindig dun is) dan kun je het zo draaien dat je er schuin tegenaan kijkt (de ene hoek is verder van je verwijderd dan de andere). Het is echter wel zo dat je dit vierkant kunt draaien zodat alle punten in 1 vlak vallen waar je recht tegenaan kijkt. 

Als je midden in dat papieren vierkant een vouw maakt zodat er een /\ vorm onstaat kun je dat niet meer zo draaien dat alle hoekpunten (incl de 2 nieuwe die je met het vouwen gemaakt hebt) in 1 vlak vallen, dus meer dan 2 dimensies nodig hebben om te beschrijven. 

[Bart23]

Dus een vlakke figuur is een figuur(=?) die je kan draaien(=?) tot het in een specifiek vlak(=?) ligt (nl. dat waar je recht tegenaan kijkt=?).
Kunnen we dan niet beter zeggen dat een vlakke figuur een figuur is die in een vlak ligt? Dan vermijden we het definieren van draaiingen in een of andere omhullende 'ruimte', en worden blinde mensen niet gediscrimineerd.
Laat ons aannemen dat we weten wat een vlak is, om het niet te ver te drijven, want daarover kunnen we nog lang discussiëren.
Ik bedoelde eigenlijk: is een vlakke figuur louter een deelverzameling van het vlak, of zijn er nog verdere eisen te stellen? Zijn bijvoorbeeld volgende delen van het vlak 'vlakke figuren'?:

• de lijnstukken die 3 niet-collineaire punten verbinden ('driehoek')
• het vlakdeel begrensd door bovenstaande lijnstukken
• drie punten
• een lijnstuk
• een rechte
• een driehoek van Sierpiński, een eiland van Koch
• het vlak zelf
• de peano-kromme

[Benm]

Oh, je mag uiteraard het vlak kiezen zodat alle punten erin vallen, dat is hetzelfde als het figuur draaien totdat het in een gekozen vlak valt. 
 
Een Koch-eland lijkt me gewoon een veelhoek. Afhankelijk van hoeveel iteraties je doet zijn het wel heel veel hoeken, maar het blijft gewoon een vorm omsloten met lijnstukken. 
 
De Sierspinksi driehoek mogelijk niet, dat lijkt een verzamelijk van driehoeken te zijn elkaar net wel/niet raken, maar niet 1 continue figuur vormen. De Peano curve is geen gesloten figuur. 
 
Het vlak zelf is geen veelhoek, een vlak heeft tenslotte geen einde en daarmee geen hoeken of randen. 

[Bart23]

De oorspronkelijke vraag was of bepaalde figuren tot de vliegers mogen gerekend worden.
De verwarring ontstaat door het ontbreken van een duidelijke definitie.
Een goede definitie moet het woord vierhoek bevatten.
Maar dat vereist een duidelijke definitie van vierhoek. (Nodig want er was twijfel of driehoeken een speciaal geval van vierhoek was)
Een vierhoek werd vervolgens geprobeerd te definiëren als een bijzondere vlakke figuur.
Mijn vraag was dan ook: wat bedoelen precies met een vlakke figuur.
Allicht is dit een deel van een/het vlak, maar is eender welk deel van het vlak een vlakke figuur?
Hier is ook een precieze definitie nodig, en dus niet een definitie die met draaiingen, kijken en dimensies werkt, hoewel dit natuurlijk helpt om het concept intuïtief te begrijpen. Maar ik denk dat iedereen wel intuïtief beseft wat 'in een vlak liggen' betekent.
Vandaar de bovenstaande voorbeelden. Welke zijn vlakke figuren, welke niet? Met een definitie kunnen we uitsluitsel geven.
 
Zeggen dat een van de voorbeelden een veelhoek is, of er op lijkt, kan de vraag niet beantwoorden, want we willen juist vierhoek/veelhoek definiëren aan de hand van 'vlakke figuur'.
Bovendien zal (in welke definitie dan ook) een Koch-eiland nooit een veelhoek zijn: het eiland is de limiet van de iteratieprocedure, niet één van de stappen onderweg. Het zou dan oneindig veel oneindig korte zijden hebben (maar sluit wel een begrensde oppervlakte in).

[Benm]

Dat hangt een beetje af van hoe je met oneindig veel zijden om gaat. 
 
Stel je begint met een regelmatige zeshoek, de volgende iteratie is een achthoek, dan een tienhoek en zo verder. Het uiteindelijke resultaat na oneindig veel iteraties is een cirkel. Een cirkel is echter wel een vlakke figuur, maar geen veelhoek. 

[Bart23]

Waarom zou je een cirkel dan geen veelhoek noemen, en een eiland van Koch (de limietsituatie) wel? En welk criterium gebruik je om een cirkel een vlakke figuur te noemen?

[Benm]

Een cirkel is een figuur met 2 dimensies, dus een vlakke figuur. 
 
Een definierende eigenschap van een veelhoek is denk ik dat deze hoeken heeft, die heeft een cirkel niet. 
 
Met fractals als dat koch eiland is het wellicht twijfelachtig: Ergens moet het gewoon een veelhoek zijn, als je erop inzoomed blijf je hoekpunten zien. Anderzijds is er geen einde aan is het aantal hoekpunten niet meer telbaar, vergelijkbaar met hoe een regelmatige oneindig-hoek een cirkel zou worden - lastig!