Geldt A=P-1AP?

Moderator: dirkwb

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.247

Geldt A=P-1AP?

Hoi,
 
Oké, dus stel we hebben een x in R.
 
Dan geldt:
 
xI=P-1(xI)P,
 
met P een inverteerbare nxn matrix, en I de identiteitsmatrix n.
 
Dit is een identiteit die o.a. gebruikt wordt in een zeker bewijs dat gelijkvormige matrices dezelfde karakteristieke veelterm hebben.
 
Goed, ik heb dit voor mezelf kunnen checken/bewijzen. Nu is mijn vraag, geldt het volgende ook:
 
Zij A een nxn matrix en P een nxn inverteerbare matrix. Dan geldt: A=P-1AP. (1)
 
Ik weet het zelf echt even niet. Ik zou graag gewoon een bewijs of een tegenvoorbeeld zien, desnoods een die al uitgetypt is op een of ander math-forum.
 
Dank je!
 
Edit.
 
Oké, mijn vermoeden is dat dit niet klopt. Het hele idee achter gelijkvormige matrices A en B is dat je A kunt schrijven als:
 
A=P-1BP,
 
met P een inverteerbare matrix.
 
A is uiteraard gelijkvormig met zichzelf, omdat (1) geldt wanneer we P=identiteitsmatrix kiezen...
 
 
Oké, ik heb het maar gewoon even uitgewerkt en een simpel 2x2 tegenvoorbeeld gevonden.
 
Ik schrok eerst even, omdat ik zelf helemaal niet verwachtte dat P-1xIP=xI, maar dat is eigenlijk wel logisch, want met P-1xI krijg je in feite P-1, maar dan elke waarde keer x. Aangezien P-1P=I, zie je makkelijk (of je het schrijft het uit) dat P-1xI=xI.
 
Never mind dus!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 1.247

Re: Geldt A=P-1AP?

Ik deed echt super moeilijk, maar ik had even niet door dat x gewoon een schalingsfactor was, door die identiteitsmatrix.

Reageer