Buiging op een boloppervlak

Moderator: dirkwb

Reageer
Berichten: 369

Buiging op een boloppervlak

Stel een bol met straal R met op het oppervlak een gelijkbenige driehoek. Deze driehoek projecteren we op een plat vlak, zodanig dat de twee benen recht zijn en de tophoek gelijk aan die op het boloppervlak (dat is wat een waarnemer op de bol ziet vanuit de top van de driehoek). De tegenoverliggende zijde moet dan krom zijn. Wat is in een formule de relatie tussen de straal van de bol en de buigingsstraal in het 2D vlak?
 

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 246

Re: Buiging op een boloppervlak

als het niet gewoon
\(R sin(\frac{s}{R})\)
is dan snap ik de vraag niet en moet je het even uittekenen
\(s\)
is de lengte van een been van de driehoek op de bol.
Help wetenschappers aan rekenkracht: Verbindt jouw PC binnen 10 minuten met de meest krachtige supercomputer op aarde!

Sluit je aan bij het Wetenschapsforum team (nr: 48658) en steun onderzoek naar alzheimer, kanker en andere ziektes. Meer info: folding.standford.edu

Berichten: 369

Re: Buiging op een boloppervlak

Is s/R hier in graden of radialen? Stel radialen en R is veel groter dan s. Dan is de straal ~R.s/R = s. Dat lijkt mij onjuist. Als ik een gelijkbenige driehoek op het aardoppervlak teken en ik kijk van de top dan is de straal van de tegenoverliggende zijde niet s.
Dan uitgetekend:
Afbeelding
 
Stel ik sta in N. Dan zie ik NA en NB als rechte lijnen (bijvoorbeeld met lengte s). AB zie ik als een kromme. Wat is de straal van die kromme?
De vraag komt eigenlijk uit de relativiteitstheorie (de kromming van de ruimte) maar is hier een gewoon meetkundig vraagstuk.

Gebruikersavatar
Berichten: 246

Re: Buiging op een boloppervlak

ik heb nog nooit iemand een straal zien meten in radialen
Help wetenschappers aan rekenkracht: Verbindt jouw PC binnen 10 minuten met de meest krachtige supercomputer op aarde!

Sluit je aan bij het Wetenschapsforum team (nr: 48658) en steun onderzoek naar alzheimer, kanker en andere ziektes. Meer info: folding.standford.edu

Gebruikersavatar
Berichten: 246

Re: Buiging op een boloppervlak

excuus: s/R is uiteraard in radialen
 
R is veel groter dan s. Dan is de straal ~R.s/R = s. Dat lijkt mij onjuist.
Dat is wel juist.
Stel je staat op de noordpool van de bij benadering bolvormige aarde met een straal R. Je loopt nu een 'klein' stukje s door tot aan de poolcirkel. Dan is de poolcirkel zelf een cirkel met nagenoeg straal s. Stel je loopt dan door tot aan de evenaar. Dan is s gelijk aan
\(\frac{1}{2} \pi R\)
en krijg je ook het juiste antwoord: R.
Help wetenschappers aan rekenkracht: Verbindt jouw PC binnen 10 minuten met de meest krachtige supercomputer op aarde!

Sluit je aan bij het Wetenschapsforum team (nr: 48658) en steun onderzoek naar alzheimer, kanker en andere ziektes. Meer info: folding.standford.edu

Berichten: 369

Re: Buiging op een boloppervlak

xansid schreef:Stel je staat op de noordpool van de bij benadering bolvormige aarde met een straal R. Je loopt nu een 'klein' stukje s door tot aan de poolcirkel. Dan is de poolcirkel zelf een cirkel met nagenoeg straal s.
Dat is niet zo, want dan is het geen driehoek meer. Voor een driehoek geldt dat iedere zijde de kortste afstand is tussen de punten. Tussen de punten A, B en N lopen dus rechte lijnen, gezien vanuit A, B of N. In het voorbeeld loopt A-B via de evenaar, maar bij de poolcirkel is de kortste weg niet via die breedtecirkel.
Wie van A naar B loopt ziet zichzelf een rechte weg lopen, maar voor een waarnemer in N lijkt het of de wandelaar een kromme weg bewandeld, door de projectie op het 2D-vlak van de waarnemer. Naarmate s kleiner wordt, wordt die vertekening steeds kleiner, dus de straal van die kromming steeds groter.

Gebruikersavatar
Berichten: 246

Re: Buiging op een boloppervlak

Aha op die fiets, dat is iets lastiger te berekenen.
Dan loop je van A naar B altijd over een grootcirkel lijkt me. Als je deze projecteert dan krijg je een ellips.
Maar de ellips heeft niet één enkele kromtestraal.
Help wetenschappers aan rekenkracht: Verbindt jouw PC binnen 10 minuten met de meest krachtige supercomputer op aarde!

Sluit je aan bij het Wetenschapsforum team (nr: 48658) en steun onderzoek naar alzheimer, kanker en andere ziektes. Meer info: folding.standford.edu

Berichten: 369

Re: Buiging op een boloppervlak

Daar was ik al bang voor.
En als je de hoek A-N-B naar nul laat naderen, dan zal de ellips naar een cirkel naderen, niet? Het bereken/benaderen van die straal, is dat te doen?


Gebruikersavatar
Berichten: 246

Re: Buiging op een boloppervlak

De projectie van de grootcirkel blijft een ellips. Maar omdat de afstand tussen A en B dan heel klein is verschilt de kromtestraal daar nagenoeg niet, en is ook nagenoeg gelijk aan de kortste halve as van de ellips.
 
Het gaat mij een beetje te ver om het precies voor je uit te zoeken maar misschien helpt dit je verder: http://math.stackexchange.com/questions/415991/to-construct-an-ellipse-being-a-projection-of-a-great-circle-given-two-points
succes ermee!
Help wetenschappers aan rekenkracht: Verbindt jouw PC binnen 10 minuten met de meest krachtige supercomputer op aarde!

Sluit je aan bij het Wetenschapsforum team (nr: 48658) en steun onderzoek naar alzheimer, kanker en andere ziektes. Meer info: folding.standford.edu

Berichten: 369

Re: Buiging op een boloppervlak

Misschien dat iemand anders dit weet?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.770

Re: Buiging op een boloppervlak

Ik heb slechts een zeer omslachtige methode in de aanbieding.
 
Bedenk dat de boldriehoek deel is van een tweevlakshoek.
 
Gezien de eisen moet de projectie van de benen dus in de standvlakken liggen.
Tevens gaat dan het projectie vlak P door deze lijnen.
 
We kiezen nu en referentie vlak R dat door N en S gaat  en symmetrisch gelegen is ten opzichte van de boldriehoek.
Bepaal nu de hoek tussen P en R.
 
Bepaal nu ook de hoek van het vlak W dat door de derde zijde gaat met R.
 
Met wat gereken kan het vraagstuk nu worden teruggebracht tot de projectie van een cirkel op een plat vlak.
 
PS.
Nogmaals.
Het is een heel gedoe, dus zal er wel een snellere manier zijn.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.770

Re: Buiging op een boloppervlak

DParlevliet schreef: Voor een driehoek geldt dat iedere zijde de kortste afstand is tussen de punten
Dat is in zijn algemeenheid niet waar.
 
Meestal wordt aangenomen dat de elementen van een n-hoek niet groter zijn dan 180 graden. (ze zijn dan Eulerische n-hoeken)
Maar het is niet verboden om ze toch groter dan 180 te nemen, wel gaan dan hele rijen van stellingen niet meer op.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 369

Re: Buiging op een boloppervlak

Tsja, ik het dat kon dan zou ik het niet op dit forum vragen.

Reageer