is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Moderators: dirkwb, Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 433

is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Ik denk altijd dat het snijpunt tussen twee lijnen een (gemeenschappelijk) punt is. Maar is dat eigenlijk wel zo. Als twee lijnen elkaar onder een hoek van 90 graden kruisen klopt dit nog wel. Maar, als de hoek anders is krijg je een meer uitgerekte overlappende vorm, een ruitvorm. Deze ruitvorm wordt steeds langwerpiger als de hoek tussen de twee lijnen meer tot 0 nadert. Als de hoek tussen twee lijnen 0 wordt, hebben ze geen snijpunt meer, maar vallen ze geheel samen. Alle punten van beide lijnen zijn dan gemeenschappelijk.
 
is het kruispunt wel een punt ingekl.gif
is het kruispunt wel een punt ingekl.gif (122.6 KiB) 225 keer bekeken
 
Bovenstaande lijkt vrij helder en niet zo van belang. Maar mijn eigenlijke vraag is de volgende: Heeft dit verschijnsel consequenties voor de wiskunde van meetkunde? Een punt is misschien '1' in de wiskunde. Maar kun je een 'snijpunt' (een ruitvorm) nog wel representeren met het getal '1'?
het heeft alleen zin om veel fouten te maken als je er iets van op steekt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 703

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Het is duidelijk dat jouw ruitvorm afhankelijk is van de breedte, of de dikte van de lijn. Over het algemeen wordt aangenomen dat een lijn(stuk) uit verbonden punten bestaat. En ook, dat een punt in de wiskunde oneindig dun is, ofwel dat een lijn in de wiskunde geen dikte heeft.
 
Als de opleidingsdocent met meetkunde minder nauwkeurig met een krijtje op het bord had getekend, en toch een correct snijpunt van twee snijdende lijnen moest aangeven, maakte hij ook wel eens gebruik van 'de stelling van Kruijs', door het snijpunt extra dik te tekenen, waardoor er een vlakje ontstond. Daardoor 'moest' een corrector het wel goed rekenen.

Gebruikersavatar
Berichten: 433

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Back2Basics schreef: Het is duidelijk dat jouw ruitvorm afhankelijk is van de breedte, of de dikte van de lijn.
 
Kort antwoord: nee, onjuist
 
De vorm van de ruit is alleen afhankelijk van de hoek tussen de twee even dikke lijnen. Bij gelijke hoek zijn alle ruiten gelijkvormig, hoe dun je de lijnen ook tekent. Dat wil zeggen, de ruiten verschillen alleen in absolute afmeting (in mm) en niet in lengte-breedte-verhouding.
het heeft alleen zin om veel fouten te maken als je er iets van op steekt

Berichten: 6.982

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

De vorm van de ruit is alleen afhankelijk van de hoek tussen de twee even dikke lijnen.
Kort antwoord: nee, onjuist.
Korter antwoord: nee.
Nog korter: [-(

Twee even dikke lijnen bestaan in de praktijk helemaal niet. Er zal altijd verschil zijn in de dikte en dat heeft effect of de ruit. Sterker nog, het is onmogelijk om een constante dikte danwel vaste richting goed vast te houden, dus de ruit zal in de praktijk helemaal geen ruit zijn. Wat zal de impact zijn van deze inzichten op de hedendaagse wiskunde???

Antwoord: Helemaal niks. Een punt heeft namelijk geen afmetingen in de wiskunde. Een lijn heeft geen dikte in de wiskunde. De hele notie dat het snijpunt dus een vorm heeft, binnen de context van wiskunde, is dan ook onzin.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.758

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Je verwart lijnen met strepen en punten met stippen.
 
Een lijn heeft geen breedte (dit zit zelfs in de definitie) een streep wel.
 
Wat je doet is eigenschappen van strepen zonder meer aan lijnen toekennen wat gewoon niet mag.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Berichten: 433

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Ik vind het toch een belangrijk punt. Ik snap wel dat lijnen in de wiskunde officieel geen dikte hebben, en niets met de werkelijke wereld te maken hebben. Maar lijnen, grafieken, worden vaak gebruikt om verschijnselen uit de werkelijke wereld in getallen te kunnen vatten, en er berekeningen en voorspellingen mee te kunnen doen.
 
Om een oneindig dunne lijn te kunnen begrijpen, moet ik eerst een lijn met enige dikte begrijpen. En voor twee lijnen met gelijke dikte geldt mijn bovenstaande verhaal.
 
Een belangrijk punt is ook wat er gebeurt als je de reële lijnen een steeds kleinere dikte gaat geven. Je zou kunnen verwachten dat het probleem dan steeds  kleiner wordt. Dat de grootte van het snijoppervlak naar een soort limiet gaat, waarbij snijpunten van lijnen onder verschillende hoeken steeds meer op elkaar gaan lijken in oppervlak. Maar dat is nou juist niet het geval. Dezelfde relatieve verschillen blijven bestaan tussen snijpunten onder verschillende hoeken.
 
bij een hoek van 90 graden tussen twee lijnen met dikte d is het oppervlak van het 'snijpunt' d*d.
bij een hoek (phi) tussen 90 graden en 0 graden tussen twee lijnen met dikte d is het oppervlak van het  'snijpunt' d*d/sin phi.
bij een hoek (phi) van 0 graden is sin phi ook 0. En d*d/0 geeft geen uitkomst.
 
Dus bij lijnen van gelijke dikte heeft het ene 'snijpunt' wezenlijk andere eigenschappen dan het andere 'snijpunt'.
 
Ik kom ook niet voor niets op dit onderwerp terecht. Bij de bolschilstelling van Newton loopt men tegen een probleem aan dat vergelijkbaar is met het door mij hierboven beschreven probleem. Newton rekent met oneindig dunne bolvormige oppervlakken, en kent daar massa aan toe. Dat leidt daar tot problemen. Zie daarvoor het volgende topic http://www.wetenschapsforum.nl/index.php/topic/200453-maakt-de-bolschilstelling-een-fout-de-wereld-is-toch-niet-plat/?p=1065969
het heeft alleen zin om veel fouten te maken als je er iets van op steekt

Berichten: 6.982

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Dat leidt daar tot problemen.
Belangrijke toevoeging: Alleen in jouw beleving...

Gebruikersavatar
Berichten: 433

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

EvilBro schreef: Belangrijke toevoeging: Alleen in jouw beleving...
 Ja, je hebt gelijk. Newton's zwaartekrachtstheorie volstaat niet, stemt niet overeen met de waarnemingen. En niemand weet goed waar dat aan ligt. Ik schijn inderdaad de enige te zijn die vermoedt dat het tekort van newton zit in de vertaalslag van werkelijke driedimensionale materie naar een theoretisch tweedimensionale bolschil. Maar dat is des te meer reden om eens goed te kijken naar het onderwerp van dit topic, de eigenschappen van het snijpunt tussen twee lijnen in een plat vlak. Misschien kunnen we later dan eens kijken naar de eigenschappen van snijvlakken in driedimensionale ruimtes.
het heeft alleen zin om veel fouten te maken als je er iets van op steekt


Berichten: 495

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Stel nou dat je het tekenen even loslaat.

Definieer je lijnstukken gewoon met functies, en het snijpunt van 2 lijnen als het punt waar beide functies dezelfde x en y coordinaat hebben.

Waar zie je dan iets terugkomen over diktes van lijnen, hoeken, vorm van het snijpunt? En waar zie je nu een probleem verschijnen?

Je moet om de wiskunde te begrijpen wel abstract kunnen denken..

Gebruikersavatar
Berichten: 433

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Wat je beschrijft is precies het probleem. Je ziet het niet terug in de wiskunde achter de meetkunde. Terwijl er soms wel een probleem kan zijn.
het heeft alleen zin om veel fouten te maken als je er iets van op steekt

Gebruikersavatar
Berichten: 433

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

een illustratie van wat er mis zou kunnen gaan:
 
Stel je voor dat je zwaartekracht gaat toekennen aan snijpunten van lijnen met dikte d.
 
In situatie A ken je zwaartekracht toe aan het snijpunt van twee lijnen met dikte d onder hoek α.
in situatie B ken je dezelfde zwaartekracht toe aan het snijpunt van twee lijnen met dikte d onder hoek β (met α≠β)
 
Dan is deze zwaartekracht in situatie A verdeeld over oppervlak d2/sinα
En in situatie B verdeeld over oppervlak d2/sinβ
 
De oppervlakken hebben dan een verschillende dichtheid. Terwijl de zwaartekracht per 'snijpunt' wel gelijk is.
het heeft alleen zin om veel fouten te maken als je er iets van op steekt

Gebruikersavatar
Berichten: 9.661

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

tuander schreef: een illustratie van wat er mis zou kunnen gaan:
 
Stel je voor dat je zwaartekracht gaat toekennen aan snijpunten van lijnen met dikte d.
 
Lijnen hebben geen dikte.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Berichten: 495

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Als een lijn een breedte heeft, dan is het wiskundig gezien geen lijn, maar een vlak.

En dan is er dus ook geen probleem. Het vlak dat ontstaat op de overlapping van 2 vlakken is keurig te definieren qua lokatie, vorm en oppervlakte.

Gebruikersavatar
Berichten: 433

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Voor een hopelijk niet overcomplete uitleg doe ik nog even een afbeelding waarmee duidelijk wordt hoe je het oppervlak van het 'snijpunt' makkelijk zelf kunt afleiden.
 
oppervlak van snijpunt lijnen berekenen.gif
oppervlak van snijpunt lijnen berekenen.gif (54.23 KiB) 207 keer bekeken
 
Het oppervlak van het 'snijpunt' (inderdaad geen punt maar een ruitvorm) is het oppervlak van het witte vormpje binnenin + 1 van de gele driehoeken. De gele driehoek kun je verplaatsen van links naar rechts om van de ruitfiguur een rechthoekfiguur te maken. De korte zijde van de rechthoek is altijd d. De lengte van de lange zijde vind je als volgt:
 
sin α = d / (lange zijde)  dus: (lange zijde) = d / sin α
 
Situatie B is links afgebeeld, en situatie A is rechts afgebeeld
In situatie A is het oppervlak van het 'snijpunt' d * d / sin α
in situatie B is het oppervlak van het 'snijpunt' d * d / sin β
De verhouding in grootte van de 'snijpunten' van situatie A t.o.v. situatie B is { d * d / sin α } : { d * d / sin β}
d * d staat zowel links als rechts in de verhouding, en die kun je dus tegen elkaar wegstrepen
 
Het oppervlak van snijpunt van A verhoudt zich tot snijpunt van B als sin β : sin α 
 
Deze verhouding is dus onafhankelijk van de lijndikte d.
Of de lijnen nou een dikte hebben van d=1 mm of een dikte van d=55 mm of een oneindig kleine dikte van d= 1/∞mm, maakt niet uit.
 
Alleen als de lijnen een dikte van 0 zouden hebben, kan je eventueel argumenteren dat de snijpunten gelijk van oppervlak zijn, namelijk 0.
In alle andere gevallen ligt de verhouding vast en is alleen afhankelijk van de hoek.
 
Dus in situaties waar het oppervlak van belang is moet je, denk ik, toch rekening houden met dit verschijnsel en niet klakkeloos aannemen dat elk snijpunt gelijkwaardig is.
Voor situaties waarin je een snijpunt alleen gebruikt om een ruimtelijke coördinaat mee aan te geven, heeft dit verhaal niet zoveel gevolgen
het heeft alleen zin om veel fouten te maken als je er iets van op steekt

Gebruikersavatar
Berichten: 2.758

Re: is het snijpunt van twee lijnen wel 1 punt?

Wat je doet is gewoon een ander begrip voor lijn invoeren.
 
Wat je tekent zijn wiskundig gezien gewoon geen lijnen, maar stroken.
 
PS.
Er staan wel lijnen trouwens:
Dat zijn de grenzen tussen wat tussen de stroken hoort en wat niet.
Deze lijnen hebben duidelijk geen breedte.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Reageer