Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Moderators: dirkwb, Drieske

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Ik heb nog eens uitgezocht waar de door mij gebruikte notatie K2 vandaan komt.
Een dissertatie van Jan Albert Prins: Meetkundige constructies en algebraische vergelijkingen uit 1927.
Hij zegt "dat het uitvoeren van een constructie enerzijds en het oplossen van een vergelijking in de grond van de zaak eenzelfde probleem blijken te zijn, als 't ware geformuleerd in twee verschillende talen. Beide zullen dienovereenkomstig in 't vervolg worden aangeduid door eenzelfde symbool
\( K_(n) \)
(probleem van de n-de graad), waar n de graad van de ermee corresponderende algebraische vergelijking is".
 
Pure luiheid mijnerzijds dat ik K2 geschreven heb en niet het Latex schrift
\( K_(2) \)
heb gebruikt.
Om die omissie goed te maken heb ik verder maar weer eens op internet gezocht. De TU Delft heeft een soort collegeboek op internet geplaatst waarin wordt gezegd dat K het lichaam is van de con-strueerbare coördinaten. K is dan een uitbreiding van het lichaam Q van de rationale getallen. Ook bij die behandeling wordt veelvuldig met notaties als b.v.
\( K_(2) \)
gewerkt maar dat gaat dan over de afzonderlijke stappen om van
\( K_(0) =Q \)
tot
\( K_(n) =K \)
te komen.
 
M.i. hebben ze in Delft wel wat met constructies en ik ben daarom nu definitief overgestapt naar 'het lichaam K van de construeerbare coördinaten' en ik hoop dat ik met deze uiteenzetting geen onbeant-woorde vragen meer heb achtergelaten. En verder ga ik honderden indexjes 2 verwijderen nadat ik ze ooit aan K heb toegevoegd.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Ik heb nog eens uitgezocht waar de door mij gebruikte notatie K2 vandaan komt.
Een dissertatie van Jan Albert Prins: Meetkundige constructies en algebraische vergelijkingen uit 1927.
Hij zegt "dat het uitvoeren van een constructie enerzijds en het oplossen van een vergelijking in de grond van de zaak eenzelfde probleem blijken te zijn, als 't ware geformuleerd in twee verschillende talen. Beide zullen dienovereenkomstig in 't vervolg worden aangeduid door eenzelfde symbool
\( K_n \)
(probleem van de n-de graad), waar n de graad van de ermee corresponderende algebraische vergelijking is".
 
Pure luiheid mijnerzijds dat ik K2 geschreven heb en niet het Latex schrift
\( K_2 \)
heb gebruikt.
Om die omissie goed te maken heb ik verder maar weer eens op internet gezocht. De TU Delft heeft een soort collegeboek op internet geplaatst waarin wordt gezegd dat K het lichaam is van de con-strueerbare coördinaten. K is dan een uitbreiding van het lichaam Q van de rationale getallen. Ook bij die behandeling wordt veelvuldig met notaties als b.v.
\( K_2 \)
gewerkt maar dat gaat dan over de afzonderlijke stappen om van
\( K_0 =Q \)
tot
\( K_n =K \)
te komen.
 
M.i. hebben ze in Delft wel wat met constructies en ik ben daarom nu definitief overgestapt naar 'het lichaam K van de construeerbare coördinaten' en ik hoop dat ik met deze uiteenzetting geen onbeant-woorde vragen meer heb achtergelaten.

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Hallo iedereen,
 
Er is in de afgelopen 2 jaar zoveel nieuws ontwikkeld m.b.t. dit oude onderwerp dat ik denk dat het een goede zaak is om het bestaande topic te actualiseren, dit  in de hoop dat er in brede kring meegedacht zal worden.
 
Het onderwerp van dit topic is: Kubieke Vergelijkingen met construeerbare Wortels. Deze titel verhult een terra incognita van enorme om- en diepgang: er is eigenlijk niets essentieels bekend, althans niet via open access. Zelfs de definitie van de verzameling van de construeerbare coördinaten is, als je het goed bekijkt, de wiskunde eigenlijk onwaardig. Er is gewoon geen algemeen geldend criterium voor die construeerbare coördinaten bekend. Ik ben ooit in dat gebied verzeild geraakt en heb er, zogezegd, jaren in rondgelopen zonder een bekende te ontmoeten. Als je via google met het lemma “Kubieke Vergelijkingen met construeerbare Wortels” of met variaties daarvan op internet zocht dan werd je naar dit topic verwezen. Hoe stil kan het zijn!
 
Ik heb  inmiddels wel wat gedachten over het onderhavige onderwerp en wil die in dit forum delen. Dit in overleg met de forumbeheerder omdat zo’n aanpak toch wel afwijkend is t.o.v. de gebruikelijke gang van zaken. Het is niet helemaal de taak van het medium Forum om een min of meer uitgewerkte theorie te publiceren en ter discussie te stellen. Daar staat dan tegenover dat het oer-interessant is, zowel om te lezen als om over na te denken om die theorie te vervolmaken met het vinden van een oplossings-algoritme voor zulke vergelijkingen. De kaarten daarvoor lijken inmiddels wel geschud.
 
Aanwezig is er nu een circa 10 pagina’s A4 tellend Windows Word document, waarin alle math-tekst in de laatste conversie staat. Een bijlage in PDF-conversie is snel geregeld, maar ik zou die tekst gedo-seerd in de posts willen verstrekken, mede om niet alle discussie via bijlagen te laten verlopen. Een mogelijk, maar niet favoriet alternatief is het document in een bijlage en de discussie in de posts met LaTeX-script; het zal dan even duren voor ik reageer op opmerkingen. Graag suggesties aangaande deze kwestie!

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Geprobeerd is om alle informatie in de vorm van leesstof aan te bieden: weinig of geen gedetailleerde afleidingen, wel veel aandacht voor de achterliggende redeneringen. Zelfs bij Hoofdstuk 1, terwijl dit toch om de opzet van het rekenkundige systeem gaat dat aan de behandeling van de theorie ten grondslag ligt.
 
In Hoofdstuk 1 worden fundamentele vergelijkingen geintroduceerd. Hun wortels zijn zo belangrijk dat ze een naam hebben gekregen: funds. Funds zijn de bouwstenen van construeerbare getallen en dan kan het niet anders zijn dan dat er relaties aan de orde komen waarvan we eerst het bestaan moeten leren kennen. Dat is Hoofdstuk 1 in een notendop. En een tipje van de sluier.
 
In bijlage 1 wordt Hoofdstuk 1 in extenso gegeven. De andere hoofdstukken worden in separate bijlagen toegevoegd. Mogelijk komen de bijlagen langs een andere weg en zijn ze niet direct aanwezig.
Bijlagen
HOOFDSTUK 1.pdf
(139.16 KiB) 17 keer gedownload

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

De bijlage Hoofdstuk 1 blijkt verfrommeld uit de pdf-conversie te zijn gekomen. Hierbij de goede uitvoering.
Bijlagen
HOOFDSTUK 1.pdf FUNDAMENTELE VERGELIJKINGEN.pdf
(182.07 KiB) 27 keer gedownload

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

We gaan over naar Hoofdstuk 2.
Behandeld wordt, in uiterst summiere vorm, het cyclische systeem. Zoals uit de beschrijving van de opbouw van zo’n systeem al naar voren komt is zo’n systeem een breiwerk van relaties tussen funds en het is daarmee een werkplaats. Omwille van de leesbaarheid volstaan we met vermelding van de belangrijkste uitkomsten van al het uitpluiswerk.
Allereerst de gedefinieerde externe somvergelijkingen ofwel s-vergelijkingen. Er duikt een aan elke cyclische constante toegevoegd drietal cyclische constanten op die medebepalend zijn voor product-wortels. Elke kubieke vergelijking zonder dubbele wortels is te herleiden tot een fundamentele ver-gelijking die we kunnen interpreteren als de productvergelijking van een paar voortbrengende funda-mentele nevenvergelijkingen. Er blijkt nu dat er een soort partnerstelsel bestaat dat een niet te negeren rol speelt bij de bepaling van de wortels van (uiteindelijk) de gegeven kubieke vergelijking. Die s-vergelijking gaan we dus nog tegenkomen.
Belangrijk is vervolgens ook de gevonden V6 = 0 omdat die vergelijking, samen met de productverge-lijking V5 = 0, alle troeven in handen lijkt te hebben om V5 = 0 ooit op te lossen.
Aan het eind van de bijlage zijn de blauwdrukken van de bij een cyclisch subsysteem betrokken funds en fundproducten gegeven.
Bijlagen
HOOFDSTUK 2 CYCLISCHE SYSTEMEN.pdf
(133.99 KiB) 15 keer gedownload

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Hoofdstuk 3                 De Wortels van in K liggende Vergelijkingen.
Hoofdstuk 3 begint met de beschrijving van de verzameling van de construeerbare coördinaten. Daarbij komt direct al de term Lichaamsuitbreiding voorbij en die vraagt mogelijk om enige uitleg. Omdat e.e.a. later nog een keer uitgebreid aan de orde komt, hier alvast die uitleg.
Een lichaam is de benaming voor een verzameling waarin 2 operaties zijn gedefinieerd, meestal  “som” en “product” genoemd. Het is, als het begrip niet bekend is, het handigste om daarbij van meet af aan te denken aan de verzameling die iedereen als zijn broekzak kent: de verzameling R van de getallen waarmee we in het dagelijkse leven rekenen. R is het lichaam van de reële getallen.
De operaties in R voldoen aan een aantal eisen ofwel wetten, zoals de commutatieve wetten 2+3=3+2 en 2x3=3x2. Zo ook de associatieve wetten: 2+(3+4)=(2+3)+4 en 2x(3x4)=(2x3)x4. Zo zijn er nog enkele, ook in verband met de speciale betekenissen van 0 en 1. Allemaal van essentieel belang om rekenen, op een manier die we vertrouwen, mogelijk te maken (dat is natuurlijk ook andersom). Nodig is bovendien dat die wetten voor alle elementen van de verzameling gelden en dat alle antwoorden op hun beurt ook weer tot de verzameling behoren. De verzameling heet dan gesloten onder die operatie(s).
Onze funds voldoen, zoals eerder werd gemeld, niet aan beide genoemde wetten en hun verzameling is dan ook geen lichaam, waarmee overigens goed valt te leven want de meeste wiskundige verzamelingen hebben geen lichaamstructuur.   
Als we aan een lichaam een Fremdkörper, b.v. de imaginaire eenheid i (de vierkantswortel uit -1) toevoegen, dan blijven alle wetten onveranderd van toepassing: (3+25i) +(7-i) = 10+24i. Men noemt het nieuw gevormde lichaam een lichaamsuitbreiding, in dit geval aangeduid met R(i). Het kan zijn dat aan R een verzameling W van een al dan niet begrensd aantal elementen
\( w_i \)
wordt toegevoegd; het principe blijft gelden en de notatie wordt R(
\( w_i \)
). Als in het laatste geval die uitbreiding stapsgewijs plaats vindt dan heet elke afzonderlijke stap een kwadratische lichaamsuitbreiding. R(i) is dus feitelijk een kwadratische lichaamsuitbreiding. Kwadratisch slaat op het feit dat bij zo’n enkelvoudige uitbreiding of stap alle elementen die zijn ontstaan m.b.v. 2 elementen uit R zelf, beschreven kunnen worden: 7+3i. Dat lukt alleen maar bij zo’n eerste stap. Men kan ook herhaaldelijk (stapsgewijze) uitbreidingen doen met als resultaat: een toren van lichaamsuitbreidingen, wat eigenlijk een naam voor het uitbreidingsproces zelf is. De enige reden voor het gebruik van de procesnaam is bij mijn weten, dat men in dat geval het eindstadium niet eenduidig weet te benoemen.
Hoofdstuk 3 is leesstof met een grote kans dat er een lamp gaat branden in het duistere verblijf van de construeerbare getallen. Niet vooraf, maar pas bij de behandeling van Hoofdstuk 4 volgt er een uiteenzetting over Hoofdstuk 3. Om u de kans te geven op de verrassing die lamp te zien aangaan.    
Bijlagen
HOOFDSTUK 3 DE WORTELS VAN IN K LIGGENDE KUBIEKE VERGELIJKINGEN.pdf
(187.89 KiB) 18 keer gedownload

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

HOOFDSTUK 4
Hopelijk bevinden zich onder de volgers van dit topic enkele personen die, net als ik indertijd, ver-baasd waren dat zulke simpele constructen als funds in staat zijn om de criteria ten aanzien van de uitvoerbaarheid van meetkundige constructies te beschrijven. Waarschijnlijk zijn het de eigenschappen van de onderliggende cyclische getallen die dat verklaren en moet je bij Galois zijn. Al met al een van te voren niet in te schatten ontwikkeling.
Hoofdstuk 3 haalt voor mij een dikke streep door de gelaagde complexiteit van het begrip construeer-baarheid. Er blijken ons slechts drie parameters van de meeste constructies te scheiden, nl. α, β en i. En niet eens allemaal tegelijk, terwijl i zijn aanwezigheid van de daken schreeuwt. Weg complexiteit! Als daar geen vervolg op mogelijk is …
Misschien moeten we Leentjebuur spelen met Galois, al hou ik daar niet van omdat hij met Cardano optrekt. We hebben bovendien nog wat eigen ijzers in het vuur zoals o.a. de s-vergelijking. Die komt in Hoofdstuk 4 weer aan de orde en er wordt een link gelegd naar de zgn. trisectievergelijking. Ik ver-zoek u om de extra uitweiding bij die s-vergelijking al als voorloper op een hoofdstuk over grafische voorstellingen te willen zien. Om u gerust te stellen: ik ben geen gelover in de driedeling van hoeken. Vanwege Pierre Wantzel en zo. Maar als kubieke vergelijkingen construeerbare wortels hebben zijn ze in theorie wel te construeren en speelt de in de klasse van die kubieke vergelijking liggende trisectie-vergelijking zeker een interessante rol.
Hoofdstuk 4 staat een beetje in het teken van het op i’s zetten van puntjes, in de aanloop naar Hoofd-stuk 5. Ook Cardano knapt er van op.
Bijlagen
HOOFDSTUK 4.pdf
(153.6 KiB) 16 keer gedownload


Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Hoofdstuk 5
In de bijlage vindt u de afleiding van de definitie van het Lichaam van de construeerbare Coördinaten. Ook wordt de karakteristieke structuur van de elementen van die verzameling gegcven. Die definitie voor K is een echte verbetering ten opzichte van de nauwelijks informatieve verwijzing naar ”een toren”  van kwadratische lichaamsuitbreidingen. En de vermelding van de karakteristieke structuur van de elementen van K biedt een opening naar verder en vooral gericht onderzoek. Ik ben uiteraard best wel benieuwd of anderen dat ook vinden. Het zijn in ieder geval de gegevens die je hoopt te vinden als je onder een van die lemma’s op internet gaat zoeken. Het zou wel leuk zijn als die doorverwijzing naar het Wetenschapsforum zou worden gehandhaafd. Is niet alleen leuk voor dat Forum, wil ik maar zeggen.
Al aangekondigd is dat er nog een vervolg in de pen zit. Dat vervolg betreft de consequenties die de hier gepubliceerde theorie heeft voor de grafische weergave van de kegelsneden die bij kubieke vergelijkingen behoren. Grafisch gezien zijn die erg leuk en volgens mij maken ze het een en ander erg overzichtelijk. Dat houdt u nog even tegoed; die grafische voorstellingen zijn wel klaar, maar het riekt naar meer.
Ik hoop dat u de posts over dit onderwerp gewaardeerd heeft en er, zo mogelijk, iets wijzer van geworden bent. En vragen staat vrij natuurlijk.
Bijlagen
HOOFDSTUK 5.pdf.pdf
(70.05 KiB) 13 keer gedownload

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Er is iets wat ik eigenlijk wilde toevoegen en vergat te noemen. Het gaat over de definitie van K.
Het ziet er naar uit dat de pogingen om K te vormen er eerst steeds op gericht waren om construeerbare coördinaten aan K toe te voegen. Omdat de bekendheid met de gemeenschappelijke structuur van die coördinaten ontbrak leidden die pogingen niet tot het gewenste resultaat. Bij de nu beschreven definitie is er sprake van het omgekeerde proces: er wordt in eerste instantie geen directe toelatingseis aan elementen gesteld maar de niet tot K behorende elementen worden selectief op een algemeen criterium verwijderd. Het is niet helemaal zo scherp als hier gezegd maar het accent ligt duidelijk meer op verwijderen van de verkeerde dan op toevoegen van de goede elementen.

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Plaatsing van tekst in pdf conversie is niet gelukt.
In de bijlage wordt een volledig uitgewerkt en van commentaar voorzien voorbeeld gegeven.
Bijlagen
BENADERING VAN f2.pdf
(75.03 KiB) 21 keer gedownload

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

 HOOFDSTUK 7.1                          Grafische Voorstellingen.
Om de uitkomsten van de afleidingen en berekeningen ook grafisch te interpreteren is het nodig om in ieder geval de bases van beide benaderingen op elkaar af te stemmen. Die mogelijkheid blijkt op een uiterst gave manier aanwezig te zijn. Het principe van de verdeling van een verzameling van vergelijkingen in een verzameling van klassen blijkt overdraagbaar tussen die benaderingen.
 
In de Bijlage bij deze post wordt aangevangen met een korte afleiding van het principe achter die overdracht, gevolgd door een viertal transities van de bij kubieke vergelijking behorende kegelsneden. Het resultaat lijkt erg op de oplossing van een gecompliceerde puzzel. Het bereikte resultaat is dat de klassenvergelijking ook grafisch gezien als de representant voor alle vergelijkingen in een klasse optreedt.
 
N.B. De getoonde afbeelding van de krommen is afhankelijk van de instellingen: de schalen van de x-as en van de y-as zijn onderling onafhankelijk en kunnen dus bij een ander medium voor afwijkingen zorgen. Als de cirkel niet rond is dan hebben we met dit probleem te maken.

 
Bijlagen
HOOFDSTUK 7.1.pdf
(136.34 KiB) 16 keer gedownload

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Hoofdstuk 7.2                
In de bijlage wordt de behandeling van de construeerbare coördinaten voortgezet. Sommige eigenschappen van die coördinaten zijn nauwelijks of niet anders dan langs grafische weg aan de oppervlakte te brengen. Zo komt het feit aan de orde dat, als de coëfficiënten van een kubieke vergelijking in K liggen terwijl de wortels van zijn klassenvergelijking tot K behoren dat de wortels van die kubieke vergelijking dan ook tot K moeten behoren. Terugkijkend is het nauwelijks voorstelbaar dat het letterlijk een kantelpunt in de interpretatie van IP’s vormde omdat het alleen via cirkelredeneringen bewijsbaar was dat die stelling correct was. Het ligt er inderdaad duimendik op, als je weet wat getallen construeerbaar maakt, d.w.z. als je weet hoe IP’s er uit zien.
 
In zekere zin geldt e.e.a. ook voor de afleiding van de vergelijkingen aan het eind van de bijlage. Daar worden funds vertaald in de tangens van de hoeken en r.c.’s bij een ingeschreven driehoek, waarmee een nog onbekende relatie wordt blootgelegd: de som van de hoeken is 180 graden en daarmee wordt er een nieuwe eis aan de wortels van een fundvergelijking geformuleerd. Die ingeschreven driehoek staat in het middelpunt van de construeerbaarheid omdat hij ook behoort bij de s-vergelijking. Hier ontmoeten de algebraische en grafische afleidingen elkaar.
Bijlagen
HOOFDSTUK 7.2.pdf
(151.36 KiB) 15 keer gedownload

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Hoofdstuk 7.3                               Grafische voorstellingen.
De Bijlage begint met de behandeling van het item dat bij de vorige post is besproken maar niet werd meegeleverd. Een kwestie van ongelukkig knippen, waarvoor mijn excuses.
Er is nu een uitgewerkt voorbeeld bijgesloten van de betekenis van de ingeschreven driehoek; figuur 3 spreekt voor zichzelf, lijkt me. De grafiek legt de oplossing van een kubieke vergelijking prachtig vast, ook al is die oplossing (zoals hier het geval is) niet te construeren. Het is erg verleidelijk om in deze richting verder te zoeken naar de oplossing van kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels, maar ik ben er nooit een spat verder mee gekomen. Er bestaat wel een oversteek van de trisectievergelijking naar de s-vergelijking, maar de erbij gepaard gaande oversteek naar een andere klasse ligt formidabel dwars.
Bijlagen
HOOFDSTUK 7.3.pdf
(130.42 KiB) 14 keer gedownload

Berichten: 138

Re: Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

Als we ons willen bezighouden met het oplossen van kubieke vergelijkingen met wortels in K dan ontkomen we niet aan de vraag of er überhaupt een algemene oplossing voor zulke vergelijkingen kan bestaan. Hierover valt inmiddels wel wat te zeggen.
 
Dit deel is nog in bewerking en is binnenkort (vermoedelijk) gereed.

Reageer