Wetenschapsforum

Waarom zijn complexe getallen en uitbreidingen daarvan naar hogere dimensies zoals quaternionen en de daarmee samenhangende vectoriële kruisproducten alleen mogelijk in ruimtes met 'n specifiek aantal dimensies?

Het uit of kruisproduct werkt alleen goed in een 3-dim ruimte.
 
Het is vrij lastig om het te generaliseren.
Dit lukt eigenlijk alleen goed met tensoren.

Eerst de complexe getallen: deze kunnen worden geïntroduceerd als reële getallenparen, dus als punten in een 2-dimensionaal vlak. Denk daarbij aan het begrip getallenvlak van Gauss. Vanuit lineair- algebraïsch oogpunt beschouwd kun je de verzameling complexe getallen opvatten als een vectorruimte over het lichaam van de reële getallen met dimensie 2. De Ierse wiskundige William Rowan Hamilton probeerde zoiets ook met drietallen te realiseren, wat echter niet lukte. Met viertallen was dat wel mogelijk, mits je de commutativiteit van de vermenigvuldiging opgaf. Op die manier ontdekte Hamilton de quaternionen. De verzameling quaternionen kun je vanuit lineair- algebraïsch oogpunt opvatten als een vectorruimte over het lichaam van de reële getallen met dimensie 4.

Nu weet ik dus nog steeds niet waarom 't niet mogelijk is voor die andere dimensies.

Wellicht helpt dit je iets verder: https://nl.wikipedia.org/wiki/Clifford-algebra