Complexe oplossingen

Moderator: dirkwb

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

Freek007 schreef:
\(z^2=-1 => z^2=i²  => z=i\)
Is dit goed?
 
tempelier schreef: Het is half goed.
 
dit is waar:
 
\(z^2=i^2\)
 
maar dit is ook waar:
 
\(z^2=(-i)^2\)
 
Er zijn zus twee oplossingen i en -i
 
Als u dit door hebt gaan we terug naar de echt vorm.
 
Is dat omdat het i tot een 2e macht is, dat je dan telkens het positieve en het negatieve moet nemen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 2.770

Re: Complexe oplossingen

Zo ongeveer.
 
we gaan nu verder met:
 
\(z^2-2=0\)
 
dit geeft:
 
\(z^2=-2\)
 
Dit op de zelfde manier bekeken geeft dan de oplossing:
 
\(i\sqrt{2}\quad , \quad -i\sqrt{2}\)
 
Ziet u dat?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

tempelier schreef: Zo ongeveer.
 
we gaan nu verder met:
 
\(z^2-2=0\)
 
dit geeft:
 
\(z^2=-2\)
 
Dit op de zelfde manier bekeken geeft dan de oplossing:
 
\(i\sqrt{2}\quad , \quad -i\sqrt{2}\)
 
Ziet u dat?
Ja, wortel komt bij de 2 en de macht gaat weg bij de Z.
De min voor de wortel en min eens vervangen voor i en eens voor  -i vervangen

Gebruikersavatar
Berichten: 2.770

Re: Complexe oplossingen

Goed dan hebben we nog:
 
\(z^4+4=0\)
 
Deze is van de vorm:
 
\(a^4+b^4\)
 
En dus ontbindbaar tot.
 
\(z^4+4=(z^2+2z+2)\cdot (z^2-2z+2)=0\)
 
Het zal misschien wat onduidelijk zijn hoe ik aan deze ontbinding kom.
Maar ik wilde de uitleg hiervan pas doen na de opgave te hebben opgelost.
(als u er dan nog behoeft aan heeft natuurlijk)
 
Heeft u nu al een idee hoe we verder moeten gaan?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

tempelier schreef: Goed dan hebben we nog:
 
\(z^4+4=0\)
 
Deze is van de vorm:
 
\(a^4+b^4\)
 
En dus ontbindbaar tot.
 
\(z^4+4=(z^2+2z+2)\cdot (z^2-2z+2)=0\)
 
Het zal misschien wat onduidelijk zijn hoe ik aan deze ontbinding kom.
Maar ik wilde de uitleg hiervan pas doen na de opgave te hebben opgelost.
(als u er dan nog behoeft aan heeft natuurlijk)
 
Heeft u nu al een idee hoe we verder moeten gaan?
 
 
tempelier schreef: Goed dan hebben we nog:
 
\(z^4+4=0\)
 
Deze is van de vorm:
 
\(a^4+b^4\)
 
En dus ontbindbaar tot.
 
\(z^4+4=(z^2+2z+2)\cdot (z^2-2z+2)=0\)
 
Het zal misschien wat onduidelijk zijn hoe ik aan deze ontbinding kom.
Maar ik wilde de uitleg hiervan pas doen na de opgave te hebben opgelost.
(als u er dan nog behoeft aan heeft natuurlijk)
 
Heeft u nu al een idee hoe we verder moeten gaan?
 
Is dat niet via ontbinden via een merkwaardig product?
 
Ik dacht determinant zoeken en de 2e graadsvergelijking op te lossen. Maar ik kom een negatieve determinant uit, dus zo zouden er dan geen reële oplossingen zijn.....
 
Op zich dan niet echt een idee, maar ik zou gokken dat het mss is met de formule van het complex getal? z=x+iy

Gebruikersavatar
Berichten: 2.770

Re: Complexe oplossingen

Je zit op het goede spoor hoor.
 
Je hebt waarschijnlijk de abc-formule gebruikt.
Nou dat kan maar dan vind je inderdaad een negatieve discriminant.
 
Dat is echter geen probleem in het rijk der complexe getallen.
 
Immers je kunt dit doen.
 
\(\sqrt{-p}=i\sqrt{p}\)
 
Zo moet je de andere vier oplossingen vinden.
Als het niet lukt geef ik wel meer detail.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

 
Immers je kunt dit doen.
 
\(\sqrt{-p}=i\sqrt{p}\)
 
Zo moet je de andere vier oplossingen vinden.
Als het niet lukt geef ik wel meer detail.

 
Met wat moet ik die p vervangen?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.770

Re: Complexe oplossingen

We beginnen met:
 
\(z^2+2z+2=0\)
 
Ik neem aan dat u de abc formule kent:
 
Dan wordt de oplossing volgens deze formule:
 
\(z=\frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{-2\pm i\sqrt{4}}{2}\)
 
Kunt u dat verder uitwerken?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.


Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

-i2 en i2
 
klopt dat?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.770

Re: Complexe oplossingen

Freek007 schreef: -i2 en i2
 
klopt dat?
Nee
 
bedenk:
 
\(z=\frac{-2\pm i\sqrt{4}}{2}=\frac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i\)
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

tempelier schreef: Nee
 
bedenk:
 
\(z=\frac{-2\pm i\sqrt{4}}{2}=\frac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i\)
Ajaaa
 
Ik had bij dat laatste niet de 2 vóór de plus/min en de 2 van de i gedeeld door 2.  :oops:
 
Voorlopig hebben we al de uitkomsten:
(-√2, -1 - i, -1 + i, √2)
 
Nog niet:

( -√2i, -√2i, 1 - i, 1 + i, )

Gebruikersavatar
Berichten: 2.770

Re: Complexe oplossingen

Dat is dan opgelost.
 
Kun je nu de andere vergelijking die overblijft op de zelfde manier oplossen?
 
Dus deze:
 
\(z^2-2z+2=0\)
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

tempelier schreef: Dat is dan opgelost.
 
Kun je nu de andere vergelijking die overblijft op de zelfde manier oplossen?
 
Dus deze:
 
\(z^2-2z+2=0\)
Eigenlijk gewoon identiek als de uwe van daarstraks, maar met + omdat ge in het begin 2 x - hebt
 
Zoiets?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.770

Re: Complexe oplossingen

Ja maar wat zijn daar de oplossingen van?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 29

Re: Complexe oplossingen

x= 1+i en x= 1-i

Reageer