klassieke mechanica

[katrien van den boss]

Hallo,
 
Ik heb een vraagje bij de volgende DIA,
 
Ik snap niet goed waarom de afleiding wanneer we de Hamiltoniaan partieel afleiden naar q dat het eerste deel van de vgl dan wegvalt.
 
Om zo de vgl daaronder te bekomen?
 
Kan iemand mij dit uitleggen aub..
 
 

[Emveedee]

Omdat dat eerste deel van de Hamiltoniaan een functie is van

\(\dot{q}\)

en niet van

\(q\)

. Dat zijn aparte coördinaten in de faseruimte.
 
Dus 

\(\frac{\partial}{\partial q_i} (p_j \dot{q}_j) = 0 \qquad \forall (i,j).\)

[Th.B]

Bovenstaande klopt volgens mij niet. 
 
In het hamiltonformalisme zijn de q's en de p's onafhankelijke coordinaten. Dat betekent dat q' = q'(q,p). Als je dan correct de 'totale' afgeleide van beide termen neemt naar een zekere q_i vallen er twee termen tegen elkaar weg, waardoor je het juiste antwoord krijgt. 
 
Bovenstaande bewering van mvd is dus mijns inziens onjuist. 

[Emveedee]

 @Th.B, je hebt gelijk. Het was even geleden en ik was wat te kort door de bocht. Ik heb even opgezocht hoe het ook alweer zat:

 

Per definitie hebben we:

\(p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}, \quad \dot{p}_j = \frac{\partial L}{\partial q_j},\)

en

\(H = \sum\limits_j \dot{q}_j p_j - L,\)

met 

\(H = H(\vec{q}, \vec{p}, t), \quad L = L(\vec{q}, \dot{\vec{q}}, t)\)

 

Dan vind je:

\(\frac{\partial H}{\partial p_i }= \sum\limits_j \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial p_i } p_j +\sum\limits_j \dot{q}_j \frac{\partial p_j}{\partial p_i } - \sum\limits_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j }\frac{\partial \dot{q}_j}{\partial p_i }\)

 

We weten per definitie dat:

\(p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j},\)

en ook  dat

\(\frac{\partial p_j}{\partial p_i}= \left\{ \begin{array}{c}

0\quad \mathrm{if }\;i \neq j \\

1\quad \mathrm{if }\;i = j

\end{array}

\right.\)

want de variabelen zijn onafhankelijk.

Als we dat invullen vinden we dus:

\(\frac{\partial H}{\partial p_i }= \sum\limits_j \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial p_i } p_j +\dot{q}_j - \sum\limits_j p_j\frac{\partial \dot{q}_j}{\partial p_i } = \dot{q}_i\)

Dezelfde afleiding kun je ook toepassen op

\(\frac{\partial H}{\partial q_i }.\)

Ik vond deze afleiding erg duidelijk, vanaf pagina 47.

[Th.B]

Geen probleem, dank voor de LaTeX-uitwerking!