Verschil tussen span en een voortbrengende verzameling

[LauraVerl]

Hallo,
 
Ik zit nu al een tijdje te sukkelen met het concept span en een voortbrengende verzameling.
Is er een manier om deze 2  makkelijk uiteen te houden ? of zijn deze 2 onlosmakelijk met elkaar verbonden ?
 
Alvast hartelijk dank
 

[Professor Puntje]

Heb je hier iets aan?
 
https://www.wetenschapsforum.nl/index.php/topic/98210-wiskunde-problemen-met-het-concept-span/

[LauraVerl]

Heb je hier iets aan?
 
https://www.wetenschapsforum.nl/index.php/topic/98210-wiskunde-problemen-met-het-concept-span/

 
Ik snap nog steeds niet zo goed het verschil... een voortbrengende ruimte lijkt mij uit wat ik hier lees hetzelfde als een span... maar dat denk ik niet dat het geval is. Of wel ?

[Professor Puntje]

Kun je hier het vraagstuk of de tekst plaatsen waar je vraag uit voortkomt. Dat maakt het duidelijker waar precies je probleem zit.

[LauraVerl]

Kun je hier het vraagstuk of de tekst plaatsen waar je vraag uit voortkomt. Dat maakt het duidelijker waar precies je probleem zit.

Ik heb juist 2 definities 
 
Span: verzameling bestaande uit alle lineaire combinaties van elementen van S
 
Voortbrengende verzameling: S voortbrengende verzameling voor V als elk element uit V een lineaire combinatie is van elementen uit S 
 
V zijnde een k-vectorruimte en S een deelverzameling van V 

[Professor Puntje]

Het is wat vreemd geformuleerd, maar ik lees dat zo:

 

Laat V een vectorruimte zijn en S een deelverzameling van V. Dan noemen we S een voorbrengende verzameling van V precies in die gevallen waarbij alle elementen van V als een lineaire combinatie van uit S gekozen elementen te schrijven zijn.

 

Dat is niet meer dan een definitie: de betekenis van de uitdrukking "voortbrengende verzameling" wordt daarmee vastgelegd.

[LauraVerl]

Het is wat vreemd geformuleerd, maar ik lees dat zo:

 

Laat V een vectorruimte zijn en S een deelverzameling van V. Dan noemen we S een voorbrengende verzameling van V precies in die gevallen waarbij alle elementen van V als een lineaire combinatie van uit S gekozen elementen te schrijven zijn.

 

Dat is niet meer dan een definitie: de betekenis van de uitdrukking "voortbrengende verzameling" wordt daarmee vastgelegd.

 
Dit snap ik  
 
Maar hoe is de relatie met span dan ? Is span dan gewoon "een" voortbrengende verzameling ?

[Professor Puntje]

Nee - span is niet een voortbrengende verzameling maar de voortgebrachte (of opgespannen) verzameling.

Stel dat je een vectorruimte V hebt en dat S een deelverzameling van V is. Dan verstaan we onder span(S) de verzameling van alle vectoren die als lineaire combinaties van uit S gekozen vectoren te schrijven zijn.

 

[TD]

 
Dit snap ik
 
Maar hoe is de relatie met span dan ? Is span dan gewoon "een" voortbrengende verzameling ?

 
Nee. Als X een deelverzameling van een vectorruimte V is, dan is span(X) de verzameling die bestaat uit alle lineaire combinaties van de vectoren in X. Je kan aantonen dat span(X) steeds een deelruimte van V is en we zeggen dat span(X) wordt voortgebracht door X of ook wel dat X voortbrengend is voor span(X). Dat is hier triviaal omdat span(X) net ontstaat uit de lineaire combinaties van X, maar je kunt het ook omdraaien en naar een willekeurige deelruimte S van V kijken. Eender welke deelverzameling Y van V waarvoor geldt dat span(Y) = S noemen we voortbrengend voor S. Zo'n voortbrengende verzameling is niet uniek, verschillende deelverzamelingen A, B... kunnen de eigenschap hebben dat span(A) = span(B) = S, zonder dat A en B gelijk hoeven te zijn.
 
De span van een aantal vectoren is dus een deelruimte en bevat alle lineaire combinaties van de vectoren waarvan de span 'genomen' wordt; die vectoren zelf vormen een voortbrengende verzameling voor die deelruimte
 
Concreet in R³, bekijk de deelruimte S die bestaat uit alle vectoren in het xy-vlak, dus alle vectoren van de vorm (x,y,0) met x en y reële getallen. Deze deelruimte wordt voortgebracht door A={(1,0,0),(0,1,0)} omdat elk element van S geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de elementen uit A; er geldt dus span(A) = S en we noemen A voortbrengend voor S of we zeggen dat S voortgebracht wordt door A. Merk op dat ook B={(1,1,0),(1,-1,0)} voortbrengend is voor S, maar bijvoorbeeld C={(1,0,0),(0,0,1)} en D={(1,1,0)} niet.

[LauraVerl]

 
Nee. Als X een deelverzameling van een vectorruimte V is, dan is span(X) de verzameling die bestaat uit alle lineaire combinaties van de vectoren in X. Je kan aantonen dat span(X) steeds een deelruimte van V is en we zeggen dat span(X) wordt voortgebracht door X of ook wel dat X voortbrengend is voor span(X). Dat is hier triviaal omdat span(X) net ontstaat uit de lineaire combinaties van X, maar je kunt het ook omdraaien en naar een willekeurige deelruimte S van V kijken. Eender welke deelverzameling Y van V waarvoor geldt dat span(Y) = S noemen we voortbrengend voor S. Zo'n voortbrengende verzameling is niet uniek, verschillende deelverzamelingen A, B... kunnen de eigenschap hebben dat span(A) = span(B) = S, zonder dat A en B gelijk hoeven te zijn.
 
De span van een aantal vectoren is dus een deelruimte en bevat alle lineaire combinaties van de vectoren waarvan de span 'genomen' wordt; die vectoren zelf vormen een voortbrengende verzameling voor die deelruimte
 
Concreet in R³, bekijk de deelruimte S die bestaat uit alle vectoren in het xy-vlak, dus alle vectoren van de vorm (x,y,0) met x en y reële getallen. Deze deelruimte wordt voortgebracht door A={(1,0,0),(0,1,0)} omdat elk element van S geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de elementen uit A; er geldt dus span(A) = S en we noemen A voortbrengend voor S of we zeggen dat S voortgebracht wordt door A. Merk op dat ook B={(1,1,0),(1,-1,0)} voortbrengend is voor S, maar bijvoorbeeld C={(1,0,0),(0,0,1)} en D={(1,1,0)} niet.

 
Bedankt, deze uitleg hielp enorm 

[TD]

Oké, graag gedaan!