Wetenschapsforum

Hoi allemaal,

Ik had gisteren op mn examen meetkunde en lineaire algebra een vraag over de dimensie van een hermitische 3x3 matrix waarvan de som van elke kolom nul is.

Nu dacht ik wel dat de dimensie van een hermitische matrix gewoon n.n is dus 9, maar wat geeft dat met die kolommen?

Alvast bedankt

Wat werd precies gevraagd? Want de "dimensie van een 3x3-matrix" lijkt me vreemd als vraag. Wat is de dimensie van een matrix? Ik zou zeggen 3x3 in dat geval.
 
Misschien werd de dimensie van de kolomruimte (dus de rang van de matrix) gevraagd? Of nog iets anders?
 
In elk geval: hermitisch of niet, als de som van alle elementen in een kolom nul is, voor elke kolom, dan is de matrix singulier en is de rang dus ten hoogste 2 (voor een 3x3-matrix).

Exacte vraag: vind een ruimte die isomorf is met de ruimte der hermitische 3x3 matrices waarvan de som op elke kolom nul is. Dus de dimensie vinden van de hermitische 3x3 matrix met som van de kolommen nul en dan een andere ruimte zoeken met dezelfde dimensie.

Je haalt nu twee dingen door elkaar: de dimensie van een 3x3 matrix (wat dat ook moge betekenen) en de dimensie van de ruimte der 3x3 matrices.
 
De ruimte der 3x3 matrices is de verzameling bestaande uit alle mogelijke 3x3 matrices.

Ik denk niet dat ik 2 dingen door elkaar haal, de vraag is vind een ruimte die isomorf is met de ruimte der hermitische 3x3 matrices waarvan de som van elke kolom nul is. Mijn vraag is dus gewoon wat is de dimensie van deze ruimte.

Okee, met 'de dimensie van een matrix' bedoel je dus gewoon hetzelfde als 'de dimensie van de ruimte van die matrices'.
 
Maar het probleem daarmee is dat dezelfde matrix een element van verschillende ruimtes kan zijn die verschillende dimensies hebben.
 
Bijvoorbeeld, de ruimte van alle 3x3 matrices is 9. Maar de ruimte van alle hermitische 3x3 matrices is een kleinere ruimte, want niet elke 3x3 matrix is een hermitische matrix. En de 'ruimte van alle hermitische 3x3 matrices waarvan de som van elke kolom nul is', is nog kleiner.

Ja inderdaad ik bedoelde hetzelfde misschien niet 100% correct. In snap ook wat ruimten zijn ik vraag me gewoon af wat nu exact de dimensie is van de ruimte van alle hermitische 3x3 matrices waarvan de som van elke kolom nul is. We werken hier trouwens over de verzameling van de complexe getallen.

pieterwi schreef: Exacte vraag: vind een ruimte die isomorf is met de ruimte der hermitische 3x3 matrices waarvan de som op elke kolom nul is. Dus de dimensie vinden van de hermitische 3x3 matrix met som van de kolommen nul en dan een andere ruimte zoeken met dezelfde dimensie.

 
Dat klinkt al beter: je zoekt dus de dimensie van de (deel)ruimte van de hermitische 3x3-matrices die ... Dat is iets anders!
 
Een hermitische matrix is volledig bepaald door zijn (reële) diagonaalelementen en door de elementen boven óf onder de diagonaal, want die zijn elkaars complex toegevoegde. Zonder de extra voorwaarde heb je dus 3 (diagonaalelementen) + 3 (niet-diagonaalelementen) vrij te kiezen. Als je over R werkt heb je per niet-diagonaalelement 2 basisvectoren nodig (bv. 1 en i op die positie), over C volstaat 1.
 
Kan je nu beredeneren wat er gebeurt als de sommen van alle elementen binnen een kolom telkens 0 moeten zijn?

Oke nu komen we tot de kern van de zaak. Ik had wel beredeneerd dat de dimensie van de gewone hermitische 9 was (wat jij dus net uitlegde).

Voor de som denk ik dan per kolom moet een reeel element en een imaginair element vast zijn, dus afhankelijk van de andere getallen. De totale dimensie zou dus 3 worden?

pieterwi schreef: We werken hier trouwens over de verzameling van de complexe getallen.

 
Ben je daar zeker van?
 

pieterwi schreef: Oke nu komen we tot de kern van de zaak. Ik had wel beredeneerd dat de dimensie van de gewone hermitische 9 was (wat jij dus net uitlegde).

 
Dimensie 9 klopt voor de 3x3 (complex) hermitische matrices over R, maar niet over C. Is dat wel een vectorruimte/deelruimte over C...?

Even weggeweest, maar het antwoord op die laatste (suggestieve) vraag is 'nee'. Immers: een hermitische matrix heeft een reële diagonaal maar dat geldt in het algemeen niet meer voor een complex scalair veelvoud (bv. een zuiver imaginair veelvoud).