veelvlak

Moderator: dirkwb

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.989

veelvlak

De hoekpuntcoördinaten van een onregelmatig tetrahedron zijn: A(-2,5,3) B(1,6,-4) C(2,0,8) D(-1,4,10)
Middels een vector- en dotproduct heb ik het volume berekend (20?)
Bestaat er een algemene expressie voor het volume van onregelmatige n-vlakken volgens dit principe?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 2.768

Re: veelvlak

Mij niet bekend, maar dat zegt niet zo veel natuurlijk.

Wel bestaat er een trucje voor het oppervlak van convexe veelhoeken in het platte vlak..

Gebruikersavatar
Berichten: 2.228

Re: veelvlak

Als je de punten schuift en roteert zodat het eerste punt in de oorsprong ligt, het tweede op de x-as, het derde in het x-y- vlak, dan is het verder simpel.
Maar dat eerste deel is met de hand nogal bewerkelijk.

Ik kom ook op een inhoud van 20.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.768

Re: veelvlak

Roteren is lastig.

Na de translatie het oppervlak van een driehoek bepalen via het uitprodukt.
Vlak in de normaal vorm brengen en zo de hoogte vinden van de piramide.

Dit lijkt me iets korter.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.497

Re: veelvlak

Ik ken geen algemene uitdrukking voor een n-vlak.

Voor een tetrahedron kan het eenvoudig: als A, B, C en D de vier hoekpunten zijn, dan is het volume van het opgespannen parallellepipedum precies de (absolute waarde van) de determinant van drie opspannende zijden, bv. B-A, C-A en D-A. Het volume van een tetrahedron is er 1/6e van, dus bv. 1/6 |det(B-A,C-A,D-A)|.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.228

Re: veelvlak

TD schreef:
ma 11 nov 2019, 14:22
Het volume van een tetrahedron is er 1/6e van, dus bv. 1/6 |det(B-A,C-A,D-A)|.
Mooi!

Ik kon het niet laten het even te proberen, en inderdaad... ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.989

Re: veelvlak

Dit zal overeenstemmen met de bewerking van TD
Ik heb niets geschoven of geroteerd om het volume te berekenen. Gewoon alle vier de hoekcoordinaten (vectoren) gebruikt.
Tetrahedron.png
Tetrahedron.png (10.75 KiB) 556 keer bekeken
Vandaar dat ik dacht dat er een vergelijkbare uitdrukking (maar dan met 4 vectoren) is om het Volume van een pentahedron (5 vlakken, 5 hoekpunten) te berekenen (dit is tenslotte ook een piramide)
voor een n>5-vlak lijkt het me inderdaad teveel van het goede..

Gebruikersavatar
Berichten: 24.497

Re: veelvlak

ukster schreef:
ma 11 nov 2019, 20:43
Ik heb niets geschoven of geroteerd om het volume te berekenen. Gewoon alle vier de hoekcoordinaten (vectoren) gebruikt.
Maar door van de drie andere punten de coördinaten van A af te trekken, heb je eigenlijk verschoven ;). Door van de vier punten A af te trekken komt A in de oorsprong te liggen, en je "verschuift de andere punten mee".


Gebruikersavatar
Berichten: 1.989

Re: veelvlak

Aah.. :D
Xilvo schreef:
ma 11 nov 2019, 14:38
TD schreef:
ma 11 nov 2019, 14:22
Het volume van een tetrahedron is er 1/6e van, dus bv. 1/6 |det(B-A,C-A,D-A)|.
is die determinant voor het volume van een pentahedron dan gewoon uit te breiden tot 1/6 |det(B-A,C-A,D-A,E-A)|. ??

Gebruikersavatar
Berichten: 1.989

Re: veelvlak

Mmm... :( dat zal niet het geval zijn omdat alleen een vierkante matrix een determinant heeft.
Misschien dan toch iets met vectorproduct/dotproduct?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.497

Re: veelvlak

De determinant geeft een veralgemening (namelijk het volume van het hyperparallellepipedum opgespannen door de n kolomvectoren, in het geval van een n-maal-n determinant), maar niet wat je zoekt.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.989

Re: veelvlak

veelvlak.png
Het verschilt maar één hoekpuntje :)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.768

Re: veelvlak

TD schreef:
ma 11 nov 2019, 14:22
Ik ken geen algemene uitdrukking voor een n-vlak.

Voor een tetrahedron kan het eenvoudig: als A, B, C en D de vier hoekpunten zijn, dan is het volume van het opgespannen parallellepipedum precies de (absolute waarde van) de determinant van drie opspannende zijden, bv. B-A, C-A en D-A. Het volume van een tetrahedron is er 1/6e van, dus bv. 1/6 |det(B-A,C-A,D-A)|.
Interessant ik kende deze vorm niet.
Ik kende wel een trucje voor 2-dim maar dat werkt anders.
(wat wel vrij gemakkelijk is om te zetten naar n-hoeken)
Na wat gepruts kon ik het op een soortgelijke wijze met een determinant oplossen.

Waarschijnlijk is het generaliseerbaar naar hogere dimensies.

Reageer