perforatie

[Theo vb]

wanneer spreek je van een perforatie, wanneer je deelt door 0 of wanneer je 0 deelt door 0.

bv x+1
——————-
x^2 -3x -4

dan heb je als je -1 invult 0 gedeeld door 0 maar wanneer je 4 invult heb je 5 gedeeld door 0.

[Bart23]

Je hebt bij een rationale functie een perforatiepunt in x=a als je, door a in te vullen in het voorschrift, 0/0 krijgt én als de multipliciteit van het nulpunt a in de teller en de noemer gelijk zijn.
Dat wil het volgende zeggen: het feit dat de teller en de noemer nul worden in a, wil zeggen dat je zowel in teller een factor (x-a) kan afzonderen. Breng nu zo veel mogelijk factoren (x-a) buiten haakjes in de teller en in de noemer. (je kan de quotiënten telkens berekenen met de regel van Horner).
Als de factor (x-a) in de teller minstens even veel keer buiten haakjes kan gebracht worden dan in de noemer, heb je een perforatiepunt. Anders zal je een verticale asymptoot hebben in x=a.
vb

\(f(x)=\frac{(x+1)^2(x-23)}{(x+1)(x-1)^2}\)

heeft een perforatie punt in -1 (op de x-as), maar

\(f(x)=\frac{(x+1)^2}{(x-7)^3(x+1)^5}\)

niet, maar wel een verticale asymptoot.

[tempelier]

Een andere naam voor zo'n punt is: een ophefbare discontinuïteit.

Ook wel simpel: Er zit een gat in de grafiek.

[TD]

Je hebt bij een rationale functie een perforatiepunt in x=a als je, door a in te vullen in het voorschrift, 0/0 krijgt én als de multipliciteit van het nulpunt a in de teller en de noemer gelijk zijn.

De multipliciteit van het nulpunt in de teller moet gelijk aan of groter dan de multipliciteit van het nulpunt in de noemer zijn.

[Bart23]

Juist, dat was ik vergeten aan te passen. Iets lager staat het wel juist. Bedankt.

Aanvullend: als het aantal factoren (x-a) in teller en noemer gelijk zijn, ligt het perforatiepunt niet op de x-as, in het andere geval wel.