Omhullende bollen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 330

Omhullende bollen

Ga uit van een verzameling identieke bollen. Rondom een bol passen precies 12 bollen. Dichtste bolstapeling.
Nu breng ik in gedachte een nieuwe laag bollen om deze 12 bollen. Hoeveel bollen bevat deze 'schil'?
Hoe gaat het verder bij verdere uitbreiding met volgende schillen met bollen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Berichten: 111

Re: Omhullende bollen

Informatie over de hexagonal close packing vind je hier:
https://en.wikipedia.org/wiki/Close-pac ... cp_lattice
Onderaan die paragraaf staat ook een formule om alle bolmiddelpunten te berekenen.
Hieronder kies ik de straal r = 3 om van de breuken af te komen.

Het kwadraat d2 van de afstand van elk middelpunt tot de oorsprong is dan (met r=3):

\(d2 = (6i+3((j+k)\; mod\; 2))^2 + 3(3j+(k \;mod\; 2))^2 + 24k^2\)

Laag k = 0:
Afbeelding

In geel de bol met middelpunt de oorsprong,
in groen je eerste laag (r=3, afstand tot oorsprong d=2*3=6, d2 = 36).
Daarbuiten wordt het niet meer zo regelmatig:
- eerst 6 bollen op d2 = 108,
- dan 6 bollen op d2 = 144.

Als we dit ook nog uitbreiden in z-richting, dan zien we:

Laag k = 1:
Afbeelding

Laag k = 2:
Afbeelding


Buiten je groene schil hebben de bollen in hcp bolstapeling dus geen constante afstand meer tot de centrale bol.
De getallen d2 kunnen waarden aannemen in deze verzameling D:
D = { 0, 36, 72, 96, 108, 132, 144, 180, 204, 216, 228, 240, 252, 264, 300, 324, 348, 360, 372, 384, 396, 408, 420, 432, 444, 468, 492, 516, ... }


Hier nog een plaatje met de dichtsbijzijnde bollen voor z=0 t/m z=2:
Afbeelding

Berichten: 111

Re: Omhullende bollen

Als je een hexagonale bol-uitbreiding bedoelt zoals dit:

Na 1 uitbreiding van 1 bol komen er 12 bollen bij, hier in geel laag z=0 en in groen z=1 (en gelijk voor negatieve z):
Afbeelding

dan een uitbreiding van laag z=0 en z=1, en aanvulling met laag z=2 (lichtblauw):
Afbeelding

dan een uitbreiding van laag z=0 t/m 2, en aanvulling met laag z=3 (donkerblauw):
Afbeelding

Dan krijgen we deze rij waarden voor het totaal aantal bollen na n uitbreidingen:
1, 13, 57, 153, 323, 587, 967, 1483, 2157, 3009, 4061, 5333, ...

Deze rij wordt gegeven door
\(a(n) = (14n^3 + 21n^2 + 14n)/4 + 1 - (n \;mod\; 2)/4\)

Berichten: 111

Re: Omhullende bollen

In het laatste geval construeren we via boluitbreidingen dus een hexagonaal bifrustum,
zie https://en.wikipedia.org/wiki/Hexagonal_bifrustum:

Afbeelding

Reageer