Hoofdwaarde complexe wortel?

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Hoofdwaarde complexe wortel?

Wat is het symbool voor de hoofdwaarde van een wortel van een complex getal? En hoe is die hoofdwaarde precies gedefinieerd?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.390

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Daar is geen apart symbool voor, maar als je weet dat z = r⋅e(φ+2kπ)i, met r = |z| en φ = arg z wordt √z gegeven door √z = √r⋅e(½φ+kπ)i. De hoofdwaarde hiervan vind je door k = 0 te stellen.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Aha! De hoofdwaarde van de wortel volgt dus uit de hoofdwaarde van het argument?

Lastig dat er geen apart symbool voor die hoofdwaarde bestaat. Voor mijn topic over galoistheorie zou dat heel handig zijn...


Gebruikersavatar
Berichten: 3.137

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Niets houd je tegen om zelf een teken voor de hoofdwaarde te bedenken.
Zo zijn veel van die notaties ontstaan.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Ah - word ik toch nog beroemd... :mrgreen:

Voor de hoofdwaarde van de n-de machtswortel van een complex getal z schrijf ik vanaf nu: \( \sqrt[\underline{n}] z \)

Eens zien of dat opgepikt wordt...

Gebruikersavatar
Berichten: 3.137

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Er is wel een probleem.

Het begrip hoofdwaarde is niet altijd gedefinieerd.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Graag een voorbeeld! Dat zou wel heel vervelend zijn want ik heb al een flink stuk van mijn bewijsvoering in mijn topic over Galoistheorie op die hoofdwaarde gebaseerd. :o


Gebruikersavatar
Berichten: 3.137

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Ik kan je geruststellen denk ik.
In dat geval is die aanpassing niet nodig.

Het treed slechts op bij machten als:
\(i^{\sqrt{2}}\)
Er is dan geen argument dat het dichtste bij 0 zit.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Onder de hoofdwaarde Arg(z) van het argument van een complex getal z ≠ 0 verstaan we de unieke hoek φ waarvoor geldt:
\(\)
\( z = |z| e^{i \varphi} \,\,\,\,\, \& \,\,\, -\pi < \varphi \leq \pi \)
\(\)
Voor het gemak definieer ik ook nog dat Arg(0) = 0, zodat Arg(z) nu ook voor alle complexe getallen z gedefinieerd is.

Om verwarring tussen reële en complexe wortels te voorkomen heb ik op dit punt helaas nog weer een aanvullende extra notatie nodig voor de gebruikelijke reële n-de graadswortels (met n een positief natuurlijk getal). Onder de n-de graads reële wortel \( \underline{\sqrt[n] x} \) van een niet-negatief reëel getal x versta ik hier het unieke niet-negatieve reële getal y zodanig dat x = yn .

De hoofdwaarde \( \sqrt[\underline{n}] z \, \) van de complexe wortel \( \sqrt[n] z \, \) van een complex getal \( z = | z | \, e^{i \mathrm{Arg}(z)} \) definieer ik dan uiteindelijk als het complexe getal:
\(\)
\( \underline{\sqrt[n]{| z |}} \,\, e^{i \frac{\mathrm{Arg}(z)}{n}} \)

Is dit zo nu wel waterdicht?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.137

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Die definitie is niet voldoende.
Er kunnen immers meerdere argumenten op dat interval liggen.
Het heeft dus een uitbreiding nodig.

Maar het gaar om dit probleem:

Het argument van z heeft de algemene gedaante:
\(arg (z) = p + 2ki\sqrt{2}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Ik begrijp je bezwaar nog niet, \( i^{\sqrt{2}} \) is toch geen wortel?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.137

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Een wortel is slecht een bijzonder geval van de macht ook is dit ,hoewel ongebruikelijk, toegestaan.
\(\Large \sqrt[\sqrt{2}]{{3i}}\)
Ook onder de reëel functies staat men dat toe immers:
\(f(x)=\sqrt[n]{n}\quad \text{met} \quad x>0\)
Wordt geaccepteerd als een continue functie.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

De volgende generalisatie van de voor de wortel geïntroduceerde hoofdwaarde is (volgens mij) nog wel mogelijk:

Onder de hoofdwaarde Arg(z) van het argument van een complex getal z ≠ 0 verstaan we ook hier de unieke hoek φ waarvoor geldt:
\(\)
\( z = |z| e^{i \varphi} \,\,\,\,\, \& \,\,\, -\pi < \varphi \leq \pi \)
\(\)
Voor het gemak definieer ik ook nog dat Arg(0) = 0, zodat Arg(z) nu ook voor alle complexe getallen z gedefinieerd is. Dat blijft dus hetzelfde.

Om verwarring tussen reële en complexe machtsverheffing te voorkomen heb ik ook hier weer een aanvullende extra notatie nodig maar nu voor de gebruikelijke reële machtsverheffing. De gebruikelijke reële machtsverheffing van een niet-negatief reëel grondgetal x tot een reële exponent y noteer ik hier als: \( \left( x^y \right )_{\mathbb{R}} \) .

De hoofdwaarde \( z^{\underline{y}} \, \) van de macht \( z^y \, \) bestaande uit het complexe getal \( z = | z | \, e^{i \mathrm{Arg}(z)} \) (als grondtal) verheven tot het reële getal y (als exponent) definieer ik dan als het complexe getal:
\(\)
\( \left ( | z |^y \right )_{\mathbb{R}} \cdot e^{i y \mathrm{Arg}(z)} \)

Gebruikersavatar
Berichten: 5.372

Re: Hoofdwaarde complexe wortel?

Professor Puntje schreef:
ma 30 mar 2020, 12:42
Onder de n-de graads reële wortel \( \underline{\sqrt[n] x} \) van een niet-negatief reëel getal x versta ik hier het unieke niet-negatieve reële getal y zodanig dat x = yn .

De hoofdwaarde \( \sqrt[\underline{n}] z \, \) van de complexe wortel \( \sqrt[n] z \, \) van een complex getal \( z = | z | \, e^{i \mathrm{Arg}(z)} \) definieer ik dan uiteindelijk als het complexe getal:
\(\)
\( \underline{\sqrt[n]{| z |}} \,\, e^{i \frac{\mathrm{Arg}(z)}{n}} \)
Bij nader inzien vind ik het eleganter om net als bij de reële macht ook voor de n-de graads reële wortel van een niet-negatief reëel getal x de notatie \( \left ( \sqrt[n] x \right )_{\mathbb{R}} \) te gebruiken.

Reageer